Algèbre famille libre et famille génératrice

[Blueshift]

Bonsoir, je suis en train de réviser pour un examen d'algèbre et il y a un exercice dont je ne comprends pas la réponse, est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer svp ?

On considère trois espaces vectoriels U,V et W sur le même corps K.
Soient g∈L(U,V) et f∈L(V,W).
On se donne aussi une base {u1,...,um} de U.
Répondre au QCM :
⊠Si dim(U)=dim(W) et {f◦g(u1),...,f◦g(um)} engendre W alors rang(g)=m.

Si dim(W)≤dim(U) ,alors {f◦g(u1),...,f◦g(um)} engendre W.

Si ker(f)={0} alors {f◦g(u1),...,f◦g(um)} est une famille libre.

Si dim(U)=dim(W) et {f◦g(u1),...,f◦g(um)} engendre W alors ker(f)={0}.

La réponse est la première mais je ne comprends pas vraiment pourquoi et pourquoi la dernière est fausse ?

Merci.
Cordialement.
Blueshift
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[Tryss2]

Pour la dernière, prend et

Maintenant, pose et

Alors on a , donc engendre bien W, mais

En gros, l'idée c'est que l'espace intermédiaire (sur lequel est défini f) peut être très grand, et que l'image de g n'en voit qu'une partie.



Pour la première question,

Suppose que Rg(g) < m

Alors on peut montrer que Rg(fog) < m

Or Rg (fog) = m car Im(fog) = W (et dim(W) = m)

Donc

Mais par le théorème du rang, Rg(g)+Ker(g) = Dim(U), donc

Ainsi Rg(g) = m

[Blueshift]

D'accord merci ! beaucoup !
bonne soirée !
Cordialement.
Blueshift