Démonstration de l'équation d'Euler-Lagrange

[Balfar]

Bonjour à tous, j'espère poster dans le bon forum. Si mon problème concerne une matière de physique, il est néanmoins mathématique il me semble. Désolé si je me suis trompé

J'ai débuté ce semestre un cours d'"Introduction à la mécanique analytique". Notre prof, avant d'entrer dans le vif du sujet, vous nous initier au calcul variationnel qui nous est inconnu. Il a commencé avec un problème par démontrer l'équation d'Euler-Lagrange mais pas de la manière que j'ai trouvée dans les bouquins. Et son cheminement me pose plusieurs problèmes.

Le but du jeu est de trouver avec
On commence par faire varier très légèrement y(x) via une fonction quelconque epsilon

Puisqu'on veut I minimal, on calcule sa variation. Et c'est là que vient le premier problème.

Mon prof nous dit

Je ne comprends pas cette ligne. Je vois qu'il a fait un développement limité mais je n'arrive pas à comprendre le calcul. Pourquoi les termes de dérivées premières sont selon alpha et epsilon et pas le premier terme? Pourquoi la dérivée partielle selon x disparait?
Si quelqu'un a la réponse, merci

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

x ne varie pas, pourquoi y aurait-il un terme de variation ?

Cordialement.

[Balfar]

D'accord, mais si je comprends le tout est basé sur la relation .
C'est cette relation que je ne comprends pas. Je vois la logique mais je ne trouve pas d'où elle vient. Pourquoi le terme en dérivée seconde est nul (j'ai multiplié par 0 mais c'est une supposition) et pourquoi la dérivée première est multipliée par epsilon ? Car il me semble qu'on parle bien ici d'une multiplication entre f et epsilon et pas d'une fonction DE epsilon.

Merci de votre réponse

[gg0]

Non,

ça ne vient pas de cette relation, le développement de ton message #1 est un développement à l'ordre 1 (pas 2) d'une fonction à plusieurs variables. Voir par exemple ce document p 8, avec le changement de notation x₀=x, y₀=y, z₀=y', et

Ce que tu as écrit n'est d'ailleurs pas très correct, car c'est un =, et à la fin, un o(|epsilon alpha|). Sauf s'il y a des conditions que tu n'as pas évoquées.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Balfar]

De quel document parlez vous?

[gg0]

Ah, désolé, la référence n'a pas été enregistrée : http://clucas.perso.math.cnrs.fr/td/poly-analyse.pdf.

[Balfar]

Ok j'ai compris merci!