Démonstration d'un axiome particulier

[Chmiman]

Bonjour , on sait que l'inégalité triangulaire est démontrée , et on sait que vis à vis de droites , la droite unique est le chemin le plus court , mais qui peut me démontrer mathématiquement que la corde sera toujours plus courte que l'arc qui L' intercepte ? En gros , me prouver que la droite est plus courte que l'arc de cercle ( meme un arc de cercle qui est tellement plat qu'il ressemble à une droite ! )


Les profs disent que c'est intuitif , mais tout devrait se démontrer.

Si vous ne voyez pas de quel cas je parle , prenez un segment AB , et tracez n'importe quel arc qui relie A à B , et prouvons que la distance entre Aet B la plus courte est le segment et non l'arc .

Un grand merci à celui qui me répondra car je pense que ce n'est pas facile à démontrer . Apres tout on a démontré 1+1 = 2 en plusieurs centaines de pages
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[Deedee81]

Bonjour,

Une rectif : ce n'est pas la démonstration d'un axiome particulier, je ne pense pas que ce soit posé comme axiome (et de toute façon, un axiome ne se démontre jamais. Au pire, si on nie l'axiome on a une autre géométrie par exemple).

Ca se démontre assez trivialement en physique par le principe de moindre action. Mais je ne sais pas si c'est valable ici. Je suppose que tu veux une démonstration plus "maths". Donc je vais laisser les spécialistes répondre.

[physik_theory]

Salut, soit un chemin continue avec E espace vectoriel normé valant A en 0 et B en 1(tu peut imaginer ici .).

Alors par définition ou le sup est pris sur toute les subdivisons possibles de .

Alors en particulier ceci étant vrai pour tout chemin continue reliant A a B
et comme le chemin (le segment de A a B.). est de longueur le chemin le plus court est le segment.

[physik_theory]

Là je t'ai donné une preuve formelle de la question avec les définitions usuelles. Après si tu te demande pourquoi les Mathématiciens l'on définit ainsi prend un arcs : prend n points dessus, ajoute la distance des n- 1 segment obtenu et regarde ce qui se passe pour n assez grand.

En fait intuitivement, on sait mesurer des segments et ensuite des segments collés. Tu obtient tous le reste grâce à cela.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Pour l'arc de cercle, c'est assez facile, on peut le faire avec de la géométrie élémentaire.

Si on note l'angle qui intercepte la corde/l'arc d'un cercle de rayon R, alors, il est assez facile de voir que

1) La longueur de l'arc est
2) La longueur de la corde est

Et comme pour x différent de 0, on a immédiatement que c < l pour theta différent de 0

[albanxiii]

Les profs disent que c'est intuitif , mais tout devrait se démontrer.

Effectivement, c'est intuitif, dans le sens qu'à l'énoncé il vient immédiatement en tête plusieurs façon de le démontrer.

Comment le démontreriez-vous ?

[Chmiman]

Je me l'étais démontré avec une ficelle en me disant que si on collait l'arc en tout points sur le segment il serait plus long car courbé . Mais ce n'est point rigoureux . Les démonstrations mathématiques faites plus haut ne sont pas de mon niveau en maths , donc je ne capte rien ( cela dit j'ai décidé de poster ici pour trouver des gens plus adaptés à ces questionnements ) J'ai cependant compris Tryss2 et sa démonstration de mon niveau en maths , merci beaucoup à physik théory qui m'a permi de voir tout l'alphabet grec en une démo que je n'ai pas comprise mais encore une fois c'est de ma faute , je viens chercher une reponse rigoureuse , vous me l'avez donnée !


PS: Pouvez vous me reexpliquer l'expérience que vous me proposez en #4 svp car je comprends pas l'histoire des n points et n-1 segments ..

[Deedee81]

Salut,

PS: Pouvez vous me reexpliquer l'expérience que vous me proposez en #4 svp car je comprends pas l'histoire des n points et n-1 segments ..

Ce qu'il explique c'est que tu prends une courbe et que tu écrits n points dessus A, B, C, D,..., puis si tu fais la somme des longueurs segments de droites AB + BC + CD... alors la longueur sera proche de la longueur de la courbe. Et si n tend vers l'infini, cela devient de plus en plus précis.
C'est la méthode intuitive qu'Archimède a utilisé pour calculer le nombre pi, en estimant le périmètre d'un cercle en traçant un polygone à l'intérieur.
Voir ici par exemple : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...archimede.html