Doute sur le terme "transformation" utilisé en géométrie

[VioletRay]

Bonjour,
J'ai un doute concernant la définition du terme "transformation" utilisé en géométrie: est-ce par définition, nécessairement une bijection ?

Sur Wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_affine), il est dit, à propos des applications affines:
"En géométrie, une application affine est une transformation géométrique conservant le parallélisme. Cette notion généralise celle de fonction affine en analyse."

D'autre part, toujours sur Wikipedia (https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...on_géométrique), il est dit:
"On appelle transformation géométrique toute bijection d'une partie d'un ensemble géométrique dans lui-même."

Donc j'en conclus, d'après ce que je lis, que toutes les applications affines sont bijectives.
Ai-je fait une erreur de lecture? Pourriez-vous m'éclairer?
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[gg0]

Bonsoir.

A priori non, puisqu'on dit que c'est une transformation. D'ailleurs, si tu avais vraiment lu la page Wikipédia, tu aurais lu la réponse à ta question (dernier paragraphe de la partie "Définition et premières propriétés".

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Je crois qu'il faut bien distinguer la "transformation affine" qui est le produis d'une translation, d'une homothétie, d'une rotation et d'une affinité, au même tire qu'une "similitude" est le produit d'une rotation et d'une homothétie, de la notion d'application affine de l'algèbre linéaire.
Je ne pense pas qu'on parle d'"application affine" en géométrie.

[VioletRay]

Bonsoir,

J'avais lu le paragraphe.
Je n'ai quand même pas compris si la première phrase à savoir "En géométrie, une application affine est une transformation géométrique conservant le parallélisme." est vraie.
Les applications affines ne sont pas toutes bijectives, mais une transformation est par définition bijective, d'où ma question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

C'est clairement dit dans le paragraphe que je signale ...

[VioletRay]

Donc la phrase "En géométrie, une application affine est une transformation géométrique conservant le parallélisme." est bien fausse, nous sommes d'accord ?

[gg0]

Si tu veux, elle utilise le mot "transformation" dans un sens non mathématique. Si tu as pris ça comme une définition, la suite doit tout de suite t'alerter : "Dans un vocable mathématique plus précis,..."
Donc Wikipédia dit lui même qu'il ne faut pas prendre ce qui précède comme une définition. D'ailleurs, les transformations géométriques sont définies d'un espace affine dans lui même alors qu'on veut pouvoir parler d'applications géométrique d'un espace dans un autre.

Mais tu peux envoyer une demnde de correction à Wikipédia.

[Dlzlogic]

Complément de mon message précédent.
Cet article de la transformation affine a subit beaucoup de modification; Par exemple, il y avait un mode d'emploi, des graphiques etc. C'était différent de l'article en anglais. Bref, maintenant, il ne dit plus rien et c'est tant mieux.

[VioletRay]

Merci à tous les deux.

[invite50ad94ad]

Bonjour,

pour conclure après cet échange :

Une application affine n'est pas forcément une bijection : par exemple, une projection sur une droite n'est pas bijective, et c'est pourtant bien une application affine (qui conserve le parallélisme !).
Le terme transformation est réservé aux bijections.

En effet, l'article wiki doit être modifié à ce sujet.
Les termes d' "application affine" et "transformation affine" sont évidemment très employés en géométrie.

Dans le plan, les transformations affines sont composées de translations, rotations, affinités, et aussi symétries orthogonales.

Dans les espaces de dimension 3 ou supérieure, c'est beaucoup plus compliqué.

[invite50ad94ad]

correction :

Dans le plan, les transformations affines sont composées de translations, rotations, affinités, et aussi ...transvections.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce sujet me parait suffisamment important et récurent pour qu'on essaye de clarifier les termes.
D'abord l'article https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...om%C3%A9trique me parait irréprochable.
Je me limiterai aux 4 transformations de base en géométrie, la translation, l'homothétie, l'affinité et la rotation. (j'ai omis volontairement la symétrie)
On appelle similitude directe le produit d'une homothétie et d'une rotation.
Théorème : "Toute similitude directe qui ne se réduit pas à une translation est le produit commutatif d'une homothétie positive et d'une rotation ayant le même centre, point double de la similitude."(Cagnac et Thiberge).
Cette transformation a été très utilisée, en particulier grâce à la méthode de calcul de Helmert, au point qu'on pu lire des phrases comme "J'ai helmertisé le plan", ce qui veut dire "J'ai calé (ou mis à l'échelle) le plans par similitude avec la méthode Helmert".

Les moyens de calcul ont permis de faire cette opération de façon plus précise avec la "transformation affine".
L'article https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation l'explique mieux que son correspondant français.
En 2D, deux points homologues définissent une similitude directe. Pour définir une transformation affine, il faut trois points homologues.
En 3D, la similitude pose des problèmes du type précision de calcul. Il vaut mieux utiliser la transformation affine qui nécessite 4 points homologues non coplanaires. Cependant, si on ne dispose que de 3 points homologues, par exemple parce que les figures sont semblables, il suffit de calculer un quatrième point à partir des trois connus, par exemple avec le produit vectoriel.

Il y a lieu de préciser que l'adjectif "affine" est très utilisé dans d'autres spécialités des mathématiques. Il faut éviter la confusion.

[invite9dc7b526]

Il y a lieu de préciser que l'adjectif "affine" est très utilisé dans d'autres spécialités des mathématiques. Il faut éviter la confusion.

bonjour, peux-tu donner des exemples?

[Dlzlogic]

bonjour, peux-tu donner des exemples?

Par exemple, plan affine, fonction affine.
L'affinité est une transformation en géométrie.
On peut dire que deux figures sont homologues par une affinité.
Que serait un plan "non affine" ?

[invite50ad94ad]

La discussion porte sur la définition du mot "transformation"... le calage, les calculs, leurs précisions, semblent assez Hors Sujet.

Sans se dire expert en géométrie, on peut savoir qu'il existe des plans qui n'ont pas le qualificatif "affines" : plans vectoriels, plans projectifs, ...

Un plan affine est un ensemble structuré, les affinités sont des applications particulières dans un plan affine ou dans un plan vectoriel. On peut regretter que les mots se ressemblent, mais c'est ainsi, et il n'y a pas de confusion(s) lorsque les choses sont bien définies.

[invitebd98b571]

On appelle similitude directe le produit d'une homothétie et d'une rotation.
(...)Il faut éviter la confusion.

Bonjour
en effet, évitons les confusions !
Une similitude est définie autrement (de manière bien plus générale),
et une similitude directe, dans le plan, est le produit d'une homothétie, d'une rotation... et d'une translation ! (déjà dit plusieurs fois à Dlzlogic dans des discussions récentes)

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il semble que la géométrie n'est plus enseignée. C'est dommage parce que c'est un chapitre très utile des mathématiques.
Apparemment, le mot "transformation" a même disparu du vocabulaire.
Puisqu'il s'agit de vocabulaire, le terme "affinité" et ses dérivés a même changé de signification. Ce terme sous-entend des notions de relation entre différents éléments. La transformation qu'on appelle affinité correspond bien à cette notion : on a une figure F on la transforme en une figure F' tel que etc.
J'avoue mon incompréhension de la signification de l'adjectif "affine" dans les expressions "plan affine" ou "fonction affine".

Concernant la définition de la similitude directe que j'ai recopiée, je peux naturellement faire une copie de la page du bouquin, les explications que j'ai données ne semblent pas avoir été suffisantes, ou on s'est contenté de lire quelques lignes prises au hasard.
D'autre part, la transformation affine a une définition bien précise (translation+rotation+homothét ie+affinité). Comme je l'ai dit plus haut, l'article de Wiki a subi de nombreuses modifications depuis quelques années. Apparemment les choses ne sont toujours pas très claires. Peut-être est-ce à cause de l'utilisation de l'adjectif "affine" très employé dans d'autres contextes.
Une caractéristique de la transformation affine, elle conserve les rapports de distance, mais pas les angles. C'est la raison pour laquelle les services du cadastre l'ont longtemps refusée et lui préféraient la similitude.

[invite50ad94ad]

Bonsoir, la géométrie est toujours enseignée post-bac, mais plus vraiment au lycée, c'est vrai.

En tout état de cause, il faut JUSTIFIER ce que l'on affirme.

Pour la notion de similitude, il ne faut pas confondre les similitudes dans un espace vectoriel euclidien (où il n'y a pas de translation) et celles dans un espace affine (où il y a translation).

Les choses sont claires : la définition d'une transformation affine dans un espace affine quelconque est parfaitement donnée ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Applic....C3.A9t.C3.A9s

L'adjectif "affine" est employé en géométrie, je ne vois pas où ailleurs.
Une transformation affine ne conserve pas forcément les rapports de distances : prendre l'exemple de la transvection du plan (x,y) -> (x,x+y).

Ce sont les similitudes qui conservent les rapports des distances : https://fr.wikipedia.org/wiki/Simili...C3.A9finitions
D'ailleurs, << conserver les rapports des distances >> et << conserver les angles géométriques >> sont deux propriétés équivalentes : faire l'un, c'est faire l'autre.

[Dlzlogic]

Voir aussi :https://fr.wikipedia.org/wiki/Simili...9om%C3%A9trie)

Dans le plan, les translations, les rotations, les symétries orthogonales selon un axe, les homothéties sont des cas particuliers de similitudes. On démontre qu'une similitude plane est toujours décomposable en au plus deux transformations de ce type. L'expression complexe d'une similitude plane est la donnée de la relation entre l'affixe d'un point et l'affixe de son image, l'expression complexe d'une similitude directe est celle d'une application affine sur le corps des complexes C.

[invite50ad94ad]

Oui, comme le dit la première phrase de ce paragraphe de wiki, les translations font parties des similitudes (précisément une translation est une similitude directe d'un plan affine).

[invite50ad94ad]

Toujours sur la même page de wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Simili...tion_canonique
c'est très intéressant.