Calcul d'une valeur approchée d'une intégrale

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit f une fonction définie sur R par

En utilisant le résultat suivant sur les sommes de Riemann :
Où f est une fonction continue sur [a,b] et M un réel et

1/ Déterminer un réel M tel que pour tout x réel appartenant à [0,1] :
J'ai fait

Donc : donc M=2 c'est bon ?

2/ Soit epsilon appartenant à R+* donner une méthode qui permet de calculer une valeur approchée à epsilon près de puis à près.

Je note que a=0 et b=1 ici mais je vois pas comment faire apparaître un épsilon.

Merci d'avance.
-----

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas d'où sort le 2 pour la majoration de |f'(x)|. Il va falloir le justifier ! Comme ce n'est pas le meilleur majorant, tu peux perdre en précision.

La question 2 est une application immédiate de la question 1 et de la formule, qui donne justement la précision sur la valeur approchée de l'intégrale.

C'est bizarre, ça fait au moins 3 jours que tu es sur cette question, on dirait que tu écris des calculs sans comprendre de quoi il est question !! D'ailleurs que tu écrives "Où f est une fonction continue sur [a,b] et M un réel" le montre bien. M n'est pas "un réel", mais un réel qui obéit à certaines contraintes que tu as explorées dans les questions précédentes.

Tu fais un devoir qui comporte un certain nombre de questions, même si tu les fais une à une (et si tu crées bêtement une nouvelle discussion à chaque fois), c'est un devoir : Ce qui est fait à une question sert dans les questions suivantes.

Allez ! Reprends l'ensemble de ce qui tu as fait, comprends ce qu'on veut faire, et tu verras que c'est quasiment évident !

[mehdi_128]

Bonjour.

Je ne sais pas d'où sort le 2 pour la majoration de |f'(x)|. Il va falloir le justifier ! Comme ce n'est pas le meilleur majorant, tu peux perdre en précision.

La question 2 est une application immédiate de la question 1 et de la formule, qui donne justement la précision sur la valeur approchée de l'intégrale.

C'est bizarre, ça fait au moins 3 jours que tu es sur cette question, on dirait que tu écris des calculs sans comprendre de quoi il est question !! D'ailleurs que tu écrives "Où f est une fonction continue sur [a,b] et M un réel" le montre bien. M n'est pas "un réel", mais un réel qui obéit à certaines contraintes que tu as explorées dans les questions précédentes.

Tu fais un devoir qui comporte un certain nombre de questions, même si tu les fais une à une (et si tu crées bêtement une nouvelle discussion à chaque fois), c'est un devoir : Ce qui est fait à une question sert dans les questions suivantes.

Allez ! Reprends l'ensemble de ce qui tu as fait, comprends ce qu'on veut faire, et tu verras que c'est quasiment évident !

J'avais laissé ce problème de côté. Je reprends.



La dérivée seconde :

Donc :

Pour étudier les variation de f' on étudie le signe de f''. Sur [0,1] :

Donc f' est décroissante sur [0,1/2] et décroissante sur [1/2,1]

Après je bloque je vois pas comment passer à |f'(x)| à partir du tableau de variation de f' pour trouver la majoration de f'.

[ansset]

La dérivée seconde :

Donc :

mauvais calcul :
f"(x)=(4x²-2)exp(-x²)
f" s'annule en 1/rac(2)
f' est tj négative et son minimum est en 1/rac(2)
donc |f'(x)|.....

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

1/rac(2) étant l'abscisse , pas le majorant évidemment.

[mehdi_128]

mauvais calcul :
f"(x)=(4x²-2)exp(-x²)
f" s'annule en 1/rac(2)
f' est tj négative et son minimum est en 1/rac(2)
donc |f'(x)|.....

Merci pour la correction

J'ai fait le tableau de variation sur [0,1], le minimum de f' est

Si f' est toujours négative alors : et donc le minimum de f' devient le maximum de |f'|

Donc :

Enfin :

C'est bon ?

[mehdi_128]

Pour la question 2 :



Donc :



Et là je suis bloqué pour donner la valeur approchée de l'intégrale à epsilon près, je vois pas trop ....

Faut dire que la partie de gauche est majorée par quelque chose qui converge vers 0 donc elle converge vers 0 ?

[gg0]

Ben ... quand tu as a<b et que tu veux que a soit inférieur à un certain nombre, tu te débrouilles pour que b le soit !!
Ici, ça revient à trouver des valeurs de n qui conviennent.

[mehdi_128]

Ben ... quand tu as a<b et que tu veux que a soit inférieur à un certain nombre, tu te débrouilles pour que b le soit !!
Ici, ça revient à trouver des valeurs de n qui conviennent.

Les valeurs de n qui conviennent en fonction de epsilon ?

[ansset]

exactement
1/(nrac(2e))<eps
<=> n> ?

[mehdi_128]

exactement
1/(nrac(2e))<eps
<=> n> ?

J'obtiens :



Après pour calculer la valeur de l'intégrale à epsilon près je vois pas trop...

Pareil pour calculer la valeur de l'intégrale à 10^-3 près.

[ansset]

On te demande de proposer une méthode , pas de calculer l'intégrale.

[mehdi_128]

On te demande de proposer une méthode , pas de calculer l'intégrale.

Ah ok merci et dans l'algorithme on donne pas de valeur à epsilon ?

[ansset]

ben si ton epsilon c'est la précision exigée, soit 10^(-3).
c'est bien le sens de ce que tu écris dans ton post #7 , en relation avec la question 2) non ?
ou bien il y a un truc que tu ne saisi pas ?
Cdt

[mehdi_128]

ben si ton epsilon c'est la précision exigée, soit 10^(-3).
c'est bien le sens de ce que tu écris dans ton post #7 , en relation avec la question 2) non ?
ou bien il y a un truc que tu ne saisi pas ?
Cdt

La définition de la convergence avec le epsilon, le epsilon désigne la précision ?
On a jamais écrit ça dans notre cours de maths ...

[ansset]

La définition de la convergence avec le epsilon, le epsilon désigne la précision ?
On a jamais écrit ça dans notre cours de maths ...

oui, epsilon désigne ici la précision.
en simplifiant l'écriture :
soit f(x) une fonction complexe à calculer
soit gn(x) ( ici une somme dépendant de n) qui permet d'approcher f(x) en fonction de n car
|f(x)-gn(x)|<eps , si on choisi un n assez grand .

[gg0]

vocabulaire (niveau collège/lycée) : Dans " calculer une valeur approchée à epsilon près ", epsilon est appelé la précision de la valeur approchée.

[mehdi_128]

oui, epsilon désigne ici la précision.
en simplifiant l'écriture :
soit f(x) une fonction complexe à calculer
soit gn(x) ( ici une somme dépendant de n) qui permet d'approcher f(x) en fonction de n car
|f(x)-gn(x)|<eps , si on choisi un n assez grand .

D'accord merci et ce n0 il dépend du epsilon

Plus on prend epsilon petit, plus le n0 sera grand c'est bien ça ?

[ansset]

Oui,
et comme on te donne une valeur précise pour epsilon, on te demande en retour une valeur de n ( ou d'un n minimal ) qui réponde à la question.
( l'équation n'est pas la fin de l'exercice )
Cdt

[mehdi_128]

Oui,
et comme on te donne une valeur précise pour epsilon, on te demande en retour une valeur de n ( ou d'un n minimal ) qui réponde à la question.
( l'équation n'est pas la fin de l'exercice )
Cdt

Ça marche pour :



C'est correct ? Après je dois écrire un algorithme ?

[ansset]

non, c'est très bien comme ça.
S(n0) est une approximation au bon eps.
Cdt

[mehdi_128]

non, c'est très bien comme ça.
S(n0) est une approximation au bon eps.
Cdt

Donc mon intégrale vaut :



J'arrive pas à comprendre le lien avec mon n0=429 calculé juste avant j'ai pas de n0 dans ma somme

[mehdi_128]

Oui,
et comme on te donne une valeur précise pour epsilon, on te demande en retour une valeur de n ( ou d'un n minimal ) qui réponde à la question.
( l'équation n'est pas la fin de l'exercice )
Cdt

Comment on sait qu'il faut prendre la valeur minimale de n0 ?
On peut pas prendre plus grand vu que ça marche pour tout n>=n0 ?

[gg0]

C'est toi qui as décidé de prendre une valeur minimale. Tu peux en prendre une autre si tu préfères. Mais quel intérêt ?

[mehdi_128]

C'est toi qui as décidé de prendre une valeur minimale. Tu peux en prendre une autre si tu préfères. Mais quel intérêt ?

Je vois pour ce n0 epsilon sera très proche de 0,001
Ce que j'arrive pas à comprendre c'est pourquoi l'intégrale vaut S(n0).
Je sais juste que d'après la définition de la convergence simple mon Sn tend vers mon intégrale I pour n >=n0.

On sait juste que pour n>=n0 :

[ansset]

Donc mon intégrale vaut :



J'arrive pas à comprendre le lien avec mon n0=429 calculé juste avant j'ai pas de n0 dans ma somme

m'enfin c'est le n de ta somme :

[mehdi_128]

m'enfin c'est le n de ta somme :

Ah j'ai compris merci ! En gros ça marche pour n0 et n>n0 mais on est plus proche du epsilon désiré pour n=n0 donc on prend n0

[ansset]

pour répéter gg0, tu peux prendre n=1000, mais puisque tu as calculé que 429 suffisait !
autant montrer que tu utilises/optimise "au mieux" ton calcul.
ps : on est pas "plus proche" on respecte la précision demandée <eps. ( 428 pourrait être plus proche par exemple mais ne respecterait pas l'inégalité )

[gg0]

Donc mon intégrale vaut :

Ça c'est faux !! On peut se demander ce que tu comprends de ce que tu écris !!
L'intégrale a une valeur, la somme finie du second membre en a une autre, qui sert pour donner une valeur approchée (donc à priori fausse) de l'intégrale.
La notion de valeur approchée est quand même simple et rencontrée dès le collège. J'espère que tu ne crois quand même pas que pi vaut 3,14 ou 22/7.

Rappel : b est une valeur approchée de a à c près signifie simplement que |b-a|<=c. Donc que si on prend b pour parler de a on fait une erreur moindre que c.

[ansset]

Oups, je n'avais même pas relevé.
Car derrière cette écriture, il y a semble t il une incompréhension de l'exercice.