Salut tous le monde,
Si vous permettez, je sollicite votre aide sur le problème suivant : j'ai une fonction implicite, avec les conditions suivantes au point
Je souhaite déterminer ou dans le cas échéant trouver une approximation pour :
A première vue, je ne peut pas utiliser le théorème des fonctions implicites.
Y' a t-il un moyen de contourner le problème?
Merci au préalable pour votre aide. Toutes les propositions sont utiles, puisque je me là-dessus.
Dernière modification par MOHYI ; 23/02/2017 à 11h15.
bjr,Envoyé par MOHYI
est ce bien (telle qu'elle ) une question d'un exercice ?
peut on avoir l'énoncé complet, car posé ainsi, c'est étrange.
ps: pas bien saisi tes formules non plus.
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
Bonjour, il y'a une condition qui n'est pas satisfaite par ta fonction :*, càd, pour ton cas , on doit avoirque sa dérivée partielle par rapport à y en (x0,*y0) n'est pas nulle, alors il existe un voisinage de (x0,*y0) sur lequel la zone s'identifie au graphe de φ.
*:https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ons_implicites
Oui, je ne peux pas utiliser le théorème des fonctions implicites. c'est ça la difficulté que je rencontre! que faire alors? je suis bloqué la-dessus
On sait en géométrie analytique qu'à toute équation
Bonjour,
Quand toutes les dérivées au premier ordre de F sont nulles, il faut passer au second ordre.
S'agissant d'une fonction à trois variables, la matrice (symétrique) des dérivées secondes partielles contient 6 coefficients différents, et la forme quadratique associée va fournir l'accroissement de la fonction autour du point (x0,y0,z0)
Comme on suppose que la question posée a une solution, cela signifie qu'elle n'est pas définie positive (car sinon, le point de la surface f=0 serait un point isolé), et qu'il existe des vecteurs isotropes (c'est à dire selon lesquels la forme quadratique est nulle). Ce sont les directions de ces vecteurs qui vont donner les dX/dz, dy/dz cherchés
Pour trouver l'ensemble de ces vecteurs, il faut diagonaliser la matrice avec la méthode de Gauss, ce qui permettra d'exprimer la forme sous forme de somme et différence de carrés. Bon courage, car c'est plutôt laborieux...
Dernière modification par Resartus ; 24/02/2017 à 11h45.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Salut Resartus, votre solution me dit quelque chose, vous parlez de la matrice Hessienne n'est ce pas?
Vous n'aurez pas par hasard une documentation que je doit consulter, qui illustre le propos de votre réponse. car malgré vos indications, je sens que je devrais encore consulter le cours (s'il y en a) qui concerne ce sujet. Votre aide est très précieuse.
Merci infiniment.
l'accroissement de la fonction est :
or
j'en déduit que la partie quadratique
ps : autodidacte ...
Une forme quadratique nulle rend le problème plus compliqué que prévu.
page 122 https://fr.scribd.com/doc/24225302/C...adimir-Smirnov
Bonjour,
Oui, c'est bien la hessienne :
Essayez wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_hessienne
ainsi que le lien sur les formes quadratiques en bas de la page
Comme l'écrit Azizovksi, le terme de df de variation de F autour de P0 est nul,: la variation est alors de la forme :
deltaf=deltaPt.H.deltaP, où DeltaP vaut (deltax, deltay, deltaz)
C'est une forme quadratique, qui donnerait la variation de la fonction à 3 variables x, y, z. autour de P0 en fonction du vecteur DeltaP
Ici, on l'utilise comme fonction implicite : on doit donc chercher les directions de deltaP t.q. DeltaF=0.
C'est une équation quadratique homogène en deltax, deltay, deltaz
Si la signature de cette forme était positive + + + (ou négative - - -),cela voudrait dire que F aurait un minimum (resp. maximum) égal à 0 en P0, et qu'autour elle serait toujours différente de zero. Il n'y aurait aucune direction répondant à la question.
Il est donc nécessaire que la signature soit + + - ou + - - (sauf cas dégénérés de type + - 0)
Selon les axes propres de la hessienne (après diagonalisation), l'équation sera celle d'un cone de la forme a.dX'²+b.dy'²=c.dz'² (a, b, c positifs)
qu'il faudra encore inverser pour revenir à vos axes initiaux
Et si, comme l'écrit azizovski, la hessienne est elle même nulle, on passe au troisième ordre, encore plus compliqué... (tenseurs)
Dernière modification par Resartus ; 25/02/2017 à 10h25.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Re Bonsoir Resartus;
Merci en avance d'avoir répondu à ma question;
Me voila à cette étape; ma matrice Hessienne est diagonale, sous cette forme :
j'ai obtenu une équation de la forme :
Vous avez dit : "qu'il faudra encore inverser pour revenir à vos axes initiaux".
Inverser quoi ? inverser la matrice Hessienne diagonale, n'est ce pas ?
et alors, après, comment obtient-on les quantités
Je vous remercie infiniment.
Dernière modification par MOHYI ; 27/02/2017 à 19h41.
Bonjour,
Comme la hessienne est déjà diagonale dans la base 0x,0y, 0z, il n'y a pas de changement d'axe à faire, et vous avez directement l'équation du cone tangent qui est d'axe Oz.
Si maintenant vous vous intéressez à la variation selon X (dY=0) on va trouver que les deux pentes* drondz/drondx valent C/A et -C/A qui correspondent à l'intersection du plan Oxz respectivement avec le demi-cone du haut et celui du bas et de même selon Y (dX=0) on a les pentes +C/B et -C/B.
*Autour du point singulier la "fonction" implicite z=g(x,y) a deux nappes. Si on paramètre un parcours sur la surface qui passe par le point singulier, on choisit habituellement celle des deux solutions qui donne une pente continue (c'est à dire que si on arrive de la nappe du bas, on repart sur celle du haut)
Dernière modification par Resartus ; 28/02/2017 à 09h54.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Salut tous le monde;
Maintenant, je suis confronter un problème que je considère comme étant la suite de cette discussion. J'ai toujours la même fonction implicite
Maintenant, je souhaite calculer la variation de z, au point critique, suivant une direction
Je suis dans l’embarras, je pense à la dérivée directionnelle, mais je ne sais pas comment faire. SVP un coup de pouce pour débloquer cette mauvaise situation.
Je compte sur votre aide. Merci de donner un peu du temps à ma question.
