moment d'inertie d'un tore avec intégrale

invitee8c53744 · 03/05/2006, 23h05

je dois calculer le moment d'inertie d'un tore engendré par un cercle de rayon R à la distance d de son axe de révolution et tout cela avec l'aide d'intégrales multiples. mais cela se révèle bien compliqué à trouver les bornes et a choisir entre coordonnées sphériques ou cylindriques;
si quelqu'un pourrait m'éclairer sur la solution merci bien

invitef45cc474 · 04/05/2006, 00h51

Salut
Je te conseille de décomposer le tore en éléments plus simples.
Le moment d'inertie d'un cercle est MR² où M est la masse et R le rayon. Tu intègres cette relation pour trouver le moment d'un anneau (j'ai trouvé $\text{[math]}$ où R1 est le petit rayon, et R2 le grand rayon).
Ensuite tu intègres cela pour z variant de -R à R (l'axe z étant l'axe de rotation du tore) en sachant que pour z0 donné, l'intersection du tore avec le plan z=z0 est un anneau de petit rayon $\text{[math]}$ et de grand rayon $\text{[math]}$

J'ai essayé de faire le calcul mais j'arrive à une intégrale qui donne un résultat très compliqué...
Je tombe sur $\text{[math]}$

Je me suis peut-être trompé (il est de toute façon temps d'aller se coucher

) mais je pense que l'idée est là.

**mécano41** · 04/05/2006, 08h25

Bonjour,

Je reprends la demo. que j'avais donnée dans "physique" en ajoutant les calculs intermédiaires.

Le moment d'inertie du tore par rapport à son axe de révolution est (voir croquis) :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On arrive finalement à :

$\text{[math]}$

et comme la masse du tore est :

$\text{[math]}$

On obtient finalement :

$\text{[math]}$

A noter, qu'il y a une limite. Il faut :

$\text{[math]}$

Bon courage

invitef45cc474 · 04/05/2006, 10h14

Bien joué mécano41

J'ajouterais juste que j'ai également réussi à m'en tirer avec mon calcul: on a en fait $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui donne:

$\text{[math]}$
et on retrouve avec maple:
$\text{[math]}$

(à noter que j'ai utiliser la symétrie du tore par rapport au plan Oxy, ce qui a simplifié les calculs)

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitee8c53744 · 04/05/2006, 11h03

j'arrive a la meme égalité que toi supernico mais comment t'en sors tu pour ton intégrale suivante

invitef45cc474 · 04/05/2006, 11h47

Mon logiciel de calcul formel (maple) me donne:
$\text{[math]}$

Je pense que c'est très difficile de le trouver à la main...
Préfère la méthode de mécano41 à la mienne si tu dois tout faire à la main.

**invite4793db90** · 04/05/2006, 12h04

Salut,

Je pense que c'est très difficile de le trouver à la main...

Un ch'tit changement de variable $\text{[math]}$ et quatre ou cinq lignes de calculs...

Cordialement.

invitef45cc474 · 04/05/2006, 12h31

En effet martini_bird...
Je me suis laissé impressionné par la primitive que me donnait maple (qui prenait 3 lignes), mais par un changement de variable ça se fait en quelques lignes:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

invitee8c53744 · 04/05/2006, 14h15

merci a tous g réussi a trouver la solution en passant par z=rcos(t)
et tout cela à la main alors après pas mal de lignes c'est fait.
maintenant il ne me reste plus que le moment d'inertie d'une demi plaque circulairecentré sur l'axe (x,y) et ce par rapport à O puis par rapport à l'axe x.
mais je pense que ceci serait plus aisé que le tore.
merci encore a tous

invitef45cc474 · 04/05/2006, 14h20

Qu'appelles-tu une demi-plaque circulaire?
Un dessin serait peut-être le bienvenu...

invitee8c53744 · 04/05/2006, 14h33

il s'agit simplemnt d'un demi cercle reposant sur l'axe des X et symétrique par rapport à y . l'énoncé dit demi plaque car je pense que l'on considère l'épaisseur comme nulle.

invite2b4dddad · 08/05/2006, 19h26

excuse moi mecano41 pour la question que je t posé javai pa réfléchi
encore merci

invite4f5585c2 · 11/02/2010, 22h28

bonsoir,
j'ai des problèmes à comprendre le théorème de THEVENIN.
vous pouvez m'aider svp.

moment d'inertie d'un tore avec intégrale

Vue hybride

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le théorème de THEVENIN

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