Sous-espaces vectoriels et dimensions

[cftvgy]

Bonjour,
je voudrais savoir si j'ai bien compris le sujet des sous-espaces vectoriels ainsi que de leurs dimensions.
J'ai été confrontée à l'exercice suivant :
"Pour chacune des familles suivantes des veteurs de R3, on demande de déterminer si elles sont libres et de déterminer la dimension du sous-espace vectoriel qu'elles engendrent."
1 - (u1,u2) avec u1 = (1,0,1) et u2 = (1,2,2)
J'ai trouvé que la famille était libre ( pour tout a, b appartenant à R2, au1+bu2 = 0 iimplique que a=b=0) et que la dimension était 2 car il y a deux vecteurs linéairement indépendants dans la famille génératrice.
2 - (u1,u2,u3) avec u1 = (1,0,0), u2 = (1,1,0) et u3 = (1,1,1)
J'ai trouvé que la famille était libre (même raisonnement qu'au-dessus avec a,b,c appartenant à R3) et que la dimension était 3 car il y a trois vecteurs linéairement indépendants dans la famille génératrice.

Je pense avoir juste jusque-là, mais c'est la suite qui me pose légèrement problème.

3 - (u1, u2, u3) avec u1 = (1,2,1) , u2 = (2,1,-1) et u3 = (1,-1,-2)
J'ai trouvé qu'elle n'était pas libre car on a la relation u1 = u2-u3, elle est donc liée.
Cela signifie-t-il que la dimension du sous-espace vectoriel engendré est 2 car seuls deux vecteurs au maximum sont linéairement indépendants?

4 - (u1, u2, u3, u4) avec u1 = (1,0,0), u2 = (1,1,0), u3 = (1,1,1) et u4 = (1,2,3)
J'ai trouvé qu'elle n'était pas libre mais liée car il y a quatre vecteurs, or l'on est dans R3 et 4>3 (de plus u4 = 3u3 - u2 - u1).
Quant à la dimension du sous-espace vectoriel engendré, je pense qu'elle est de 3 car au maximum il y a 3 vecteurs linéairement indépendants dans la famille génératrice.


Ai-je bien compris ou il y a-t'il des fautes?
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

1 et 2 : OK.

3 : Comme la famille est liée, on peut éliminer un vecteur qui est combinaison linéaire des deux autres (u1, par exemple), puisque toute combinaison linéaire des 3 se transforme immédiatement en C L des deux. Et tu es ramené au même problème avec un vecteur de moins.
"Cela signifie-t-il que la dimension du sous-espace vectoriel engendré est 2 car seuls deux vecteurs au maximum sont linéairement indépendants?" Non. Si seuls deux vecteurs au maximum sont linéairement indépendants, alors la dimension du sous-espace vectoriel engendré est au maximum 2.

4 : Même méthode ! Tu verras bien la dimension quand tu auras une sous-famille libre et génératrice (c'est la définition de la dimension !!).

Cordialement.

[jeanlouisb]

accord avec la réponse précédente.
Compléments: à la question 3 il suffit de remarquer que 2 des vecteurs ne sont pas colinéaires donc la dimension est 2.
à la question 4 il suffit de remarquer que 3 des vecteurs sont ceux de la question 2, donc la dimension est 3.