Intégration de fraction de polynomes

[Yopamath]

Bonjour,

Je cherche à intégrer la relation suivante :



Avec c et d des constantes positives telles que c>d.

Mais je ne sais pas vraiment par où commencer... y'a-t-il une méthode à privilégier ?

Si vous avez des pistes...

Merci par avance !
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[gg0]

Bonjour.

La méthode générale est de factoriser le dénominateur (en posant X=x² on se ramène dans un premier temps à factoriser un polynôme du second degré), en distinguant différents cas suivant les valeurs de c et d, puis à décomposer en éléments simples. Attention, ce dénominateur ne doit pas s'annuler entre a et b.

Comme je ne vois pas de méthode autre, je te souhaite bon travail !

[JB2017]

Bonjour la question est un peu pénible (du point de vue calculs). Sinon il n'y a pas de problème.
Ton dénominateur ne s'annule pas. Donc il se factorise sous la forme

(x^2+h1)(x^2+h2) avec h1 et h2 positifs. IL faut les calculer.
Ensuite ta fraction se mets sous la forme

(s1x+q1)/(x^2+h1)+(s2x+q2)/(x^2+h2) avec s_i,q_i à calculer.

Ensuite chaque éléments se calcule de la façon suivante
(s1x+q1)/(x^2+h1)=s1/2 (x^2+h_1) '/(x^2+h1)+ h1/(x^2+h1)
le premier terme fait apparaitre une forme u'/u facile à intégrer, la deuxième est liée avec la dérivée de arctan.
Avec cela il reste à calculer (mais l'auteur aurait pu être + sympa en donnant des valeurs à c et d!!!!!)

[stefjm]

(mais l'auteur aurait pu être + sympa en donnant des valeurs à c et d!!!!!)

Et perdre du même coup la généralité du résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]