Bonjour à tous,
Pourquoi la fonction f qui vaut 0 lorsque x est rationnel, et 1 lorsque x n'est pas rationnel est discontinue en tout points ?
Selon moi, cela signifie qu'il n'existe pas deux rationnels consécutifs, puisque la fonction est toujours discontinue.
Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci.
Deux consécutifs ne serait pas suffisant. Une manière d'exprimer l'obstacle est qu'il n'existe pas d'intervalle ouvert de R ne contenant que des rationnels (ou que des irrationnels). (Ce qu'on pourrait voir comme une infinité de rationnels (ou d'irrationnels) consécutifs.)
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci beaucoup, j'y vois un peu plus clair.
Mais si alors je prends une fonction f qui vaut 0 lorsque x est pair, et 1 lorsque x est impair, elle est aussi discontinue en tout point si on suit ce même raisonnement ?
Bonsoir
Pour parler de parité, je suppose que l'ensemble est IN ou Z, sans doute avec la topologie usuelle, alors cette fonction est parfaitement continueEnvoyé par Wenti
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bon, je n'ai pas choisi le bon exemple... Mais je ne comprends toujours pas pourquoi ma fonction de départ est discontinue en tout point.
Si je prends deux rationnels consécutifs, j'ai bien une portion de courbe qui est continue, donc la fonction est continue au moins sur deux points, à moins que la définition de continuité que je me fais soit erronée.
Ce qui n'existe pas !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La réponse que j'ai donnée s'appliquait aux réels avec la topologie usuelle, cela ne s'applique pas à n'importe quel ensemble et/ou topologie.
Maintenant la topologie générale n'est pas au programme du lycée (par exemple) ; si on ne fait pas d'études un peu plus poussées en maths, la notion de continuité est vue quasiment seulement avec la topologie usuelle de R (ou de R^n).
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Je reprends ma première réponse, dite autrement (toujours pour R et sa topologie usuelle) : pour que la fonction soit continue en un point donné, il faudrait que ce point appartienne à un intervalle ouvert composé uniquement de rationnels ou d'irrationnels. Comme il n'y a pas d'intervalle respectant ces critères, donc pas de point respectant ces critères, la fonction est discontinue en tous points.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Ah d'accord, disons que je ne savais pas qu'il était impossible d'avoir deux rationnels consécutifs. Pourriez-vous d'ailleurs m'expliquer brièvement pourquoi ?
Est-ce parce-que comme il y a une période qui se répète, il est techniquement impossible de "passer" au nombre suivant ?
Merci à toi pour ta réponse. Mais il suffisait simplement de dire qu'il est impossible d'avoir deux rationnels consécutifs, et j'aurais tout de suite compris!
Entre deux rationnels a et b (avec a < b) il y a toujours un autre rationnel : (a+b)/2, donc b, quel qu'il soit ne peut être le successeur de a
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il n'y a pas de notion de "consécutif" entre deux réels.
Entre deux rationnels a et b tu peux toujours trouver un irrationnel (la preuve est un petit exo simple).
Entre deux irrationnels a et b tu peux toujours trouver un rationnel (la preuve est un petit exo simple).
Sinon, une autre façon, avec la caractérisation de la continuité par les suites :
f est continue en a si pour toute suite (u_n) (d'éléments de l'ensemble de définition de f) qui converge vers a, la limite de f(u_n) est f(a).
Or tout irrationnel est limite d'une suite de rationnel. DOnc pour chaque irrationnel a, on peut construire une suite u_n de rationnels qui converge vers a. Pour chaque n, f(u_n) = 0, donc la suite f(u_n) converge vers 0. Mais f(a) = 1, donc f n'est pas continue en a.
On peut faire la même chose pour les rationnels
C'est compris. Merci à vous !
