Degre d'une application continue dur la n-sphere

[mcheddadi]

Bonjour,
On considere une application continue de la n-sphere vers la n-sphere.
On suppose que pour tout x :
f(- x ) = -f (x)
Comment montrer que le deegre de f est impair ?

Cordialement.
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[AncMath]

Tu peux remarquer que f se factorise en une application entre les espaces projectifs réels de dimension n et utiliser l'homologie à coefficient dans qui est particulièrement adaptée à ce genre de problèmes.

[mcheddadi]

Bonjour,
J'ai besoin de plus de details svp.
C'est quoi F2 ? Comment obtenir cette factorisation ?
Merci

[AncMath]

est le corps à deux éléments.
Cette factorisation s'obtient par passage au quotient : l'espace projectif réel de dimension n est défini comme le quotient de la sphere de dimension n par l'identification des points antipodaux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mcheddadi]

Bonjour,
Et comment deduire que le degre de f est impair ?
Le degre de f se calcule, a ce que je comprends, par le degre de l'application qui corresondant aux espaces projectifs ?
Le degre d'une application est defini uniquement pour celle qui va de la sphere vers elle-meme ?

[AncMath]

Je te propose de prouver le résultat sous forme d'un petit exercice facile.
1) En considérant le revêtement à deux feuillets, montre que tu as une longue suite exacte

où est l'application qui à une p-chaine singulière de associe la somme des deux relèvement distincts de cette p-chaine à .
2) Montre que cette longue suite exacte est fonctorielle vis à vis des applications impaires de
3) Déduis-en que la multiplication par de dans lui meme n'est pas nulle.
4) En utilisant le fait que est induite par par réduction modulo 2, déduis-en que est impair.

[mcheddadi]

Bonjour,
Que signifie la deuxième question ?
Je ne vois pas trop pour la dernière question.

Note.
Je commence a peine mon premier cours de topologie algébrique.
Soyez plus bavard avec moi.

Cordialement.

[AncMath]

La seconde question signifie que si tu as une application impaire qui induit donc une application continue que je note toujours de dans lui-même. Alors tu dois prouver que tu as un diagramme commutatif

dont les lignes sont exactes.

Je ne comprend pas comment tu as pu faire la question 3 sans avoir compris ce que voulait dire la question 2.

La dernière question devrait être totalement évidente. Que se passerait-il si était pair ? Que vaudrait l'application ?

Je n'arrive pas à faire disparaître le symbole $ en début de ma suite exacte. Il ne devrait pas y être.

[mcheddadi]

Merci.
Je n'ai pas encore fait la question 3.
Puris-je vous demander de m'eclairer sur le role de l'ensemble dexcoefficients dans la calcul de l'homologie.
Franchement je ne sais pas utiliser F2.

[AncMath]

Que veux tu dire par tu ne sais pas "utiliser" ? C'est simplement le corps à deux éléments. Il n'y a rien à utiliser. Tu ne vois pas un critère simple portant sur l'image de par le passage au quotient pour savoir si est impair ou non ?

Je te rappelle que est une autre notation pour .

[mcheddadi]

Si n est est impair, son image est classes de 1

[AncMath]

Voila, tu as tout ce qu'il te faut pour terminer la résolution de ton exercice.

[mcheddadi]

La Somme des releve Nets distincts de sigma n'est-elle pas nulle ?

[AncMath]

Pas du tout. Pourquoi veux tu qu'elle soit nulle ?