Résidus et surface de Riemann

[Oss118]

Bonjour,
Pourquoi est il important qu'une surface de Riemann soit Hausdorff pour qu le thm des residus d'applique dessus ?
J'arrive pas à voir ou intervient l'hypothese dans la démonstration mais on m'a dit que c'etait crucial.
Je parle du thm sivant:

Let f be a meromorphic function on a connected compact Riemann surface then f has exactly the same numbers of zeros and poles counted with multiplicites.

Ce thm résule du thm des résidus.
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[AncMath]

Si tu postais la démonstration que tu as on pourrait sans doute y voir plus clair quant à où intervient la séparation.
Quoiqu'il en soit effectivement le résultat que tu cites n'est pas vrai sans hypothèse de séparation sur ta surface. Regarde par exemple sur la sphère de Riemann avec le point à l'infini doublé : la fonction rationnelle a un zéro simple et deux pôles simples.

[Oss118]

Merci de votre réponse. Mais je n'ai pas de démonstration de ce resultat.
Par contre, je ne comprends pas vote contre exemple.

[AncMath]

Pour mon contre exemple, voici quelques détails.

Considère où est définie par l’identification des deux copies de . Notons l'image du premier dans et l'image du second. Ce sont deux ouverts de isomorphe à . Notons enfin l'image de dans par l'une ou l'autre des applications de dans . C'est aussi un ouvert isomorphe à .
Soit la fonction rationnelle définie par en restriction à et par en restriction à et , l'identification entre pour i=1 ou 2 et étant donné comme d'habitude par entre les deux ouverts affines standard de .

Calculons le diviseur de , il est clair qu'en restriction à c'est , en restriction à c'est c'est à dire l'image de dans la premier copie de dans et en restriction à c'est c'est à dire l'image de dans la seconde copie de dans .

Tu vois bien que le degré de n'est pas nul puisque

[A voir en vidéo sur Futura]