3° théorème d' isomorphisme

[slivoc]

Bonjour,

J' aurai voulu savoir si on pouvait prouver le troisième d' isomorphisme de la façon suivante, après avoir montrer que f est un morphisme bien défini:


Puis pour se ramener au 1 er th. d' iso., on a juste à dire que pour tout [x] dans G/K, [x] dans ker f ssi Pi2(^-1)([x]) est dans H ssi [x] est dans Pi2(H)= H/K ?
On a déjà une preuve dans notre cours mais un peu différente, même si les idées ne sont pas vraiment différentes. C' est surtout pour m' entraîner avec les diagrammes qu' on a peu vu jusqu'ici !

Bonne journée !
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[AncMath]

Je trouve étrange ta justification de la commutativité du diagramme.
Notamment comment passes tu de la ligne 2 ou 3 ? On dirait bien que tu uses de ce que tu veux démontrer.
D'autres part tu n'utilises rien sur .
La justification de la commutativité n'est pas difficile elle résulte simplement de la propriété universelle, je crois que c'est ce que tu appelles le premier théorème d'isomorphisme.

[slivoc]

Pour passer de la ligne 2 à la 3 j' utilise que f est un morphisme de groupes ( en l' ayant deja prouvé mais sans le re-démontrer ici), donc que f(x)^-1=f(x^-1) et que Pi2 est aussi un morphisme, donc que f(Pi2(x))^-1=f(Pi2(x^-1)). En fait j' utilise que Pi1 et Pi2 sont surjectives. En fait mon but ici n' est que de démontrer que f est surjective, si f n' ' était pas surjective, on aurait une absurdité avec le fait que le diagramme commute ( ce que j' essaye de montrer ) et que Pi1 est surjective.

[AncMath]

On s'est mal compris, comment passes tu de à .
En fait je trouve ta preuve un peu maladroite, parce que le seul point à prouver pour conclure que le diagramme commute c'est que est bien définie, et c'est précisément ce qui n'apparait pas.
Vu que tu définies par la commutativité est évidente. La seule chose à prouver c'est que ceci défini bien un de manière unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[slivoc]

La partie de la preuve où f est bien définie est dans Mon cours et avec ca je n avais pas de probleme. C est vrai qu en fait la commutativité est évidente ( puisque c est la definition de f) et la surjectivité de f aussi par celle de Pi1.J aurai juste une autre question: La surjectivité de Pi2 ne sert que pour définir f sur G/K en entier ?
Merci !

[AncMath]

Oui la surjectivité de ne sert "qu'à ça".

[slivoc]

Merci et bonne journée !