theorie des representations. un resultat connu?

[Murmure-du-vent]

bonjour
je lis cette phrase ici

In modern operator theory it is a well known mathematical fact that two irreductible
representations are unitarily inequivalent if and only if they are orthogonal.

j ai longuement cherché mais je n ai pas trouvé le theoreme qui etablit ceci

le connaissez vous?
merci
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[AncMath]

Orthogonales dans quoi ? Dans la représentation régulière ? Dans toute représentation Hilbertienne ?
Dans la représentation régulière c'est un résultat standard : c'est le théorème de Peter-Weyl. Dans toute représentation Hilbertienne c'est clairement faux mais le lemme de Schur te donne une implication.

[Murmure-du-vent]

j ai l impression qu on parle de representations reductibles ayant deux sev invariants
orthogonaux ce qui induirait des representations qui seraient unitairement inequivalentes.

[Murmure-du-vent]

ce papier parle de theorie algibrique des champs. les representations traitees sont
des representations d algebres d operateurs sur un espace de Hilbert

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

cette orthogonalite est souvent mise en avant pour "prouver" la non equivalence.
voyez par exemple ceci trouvé dans un forum americain.
But it is clear that there is no unitary transformation τ⃗ =U†(θ)σ⃗ U(θ) such that |θ⟩=U(θ)|0⟩.
Such a transformation clearly doesn't exist, because, for one thing, ⟨0|θ⟩→0

Pour moi il manque une etape finale dans tout ca

[AncMath]

Je suis désolé mais il me manque un peu contexte pour pouvoir vraiment suivre. Mais ce que j'ai dit répond partiellement à ta question.
De manière plus précise, soit une représentation unitaire d'un groupe que je vais supposé compact à valeur dans un espace de Hilbert.
Supposons que contienne deux sous représentations irréductibles et . Elles sont nécessairement de dimension finie car est compact. Si on prend une base de et idem pour , alors les relations d'orthogonalités pour les coefficients matriciel ou le lemme de Schur dont elles dérivent te donnent que et sont orthogonaux.
Quant à la réciproque elle est fausse tu peux très facilement construire un contre exemple.

[AncMath]

J'ai oublié de préciser que je supposais et inéquivalentes !! Bon ça va sans le dire, mais ça va mieux en le disant.

[Murmure-du-vent]

Le texte de Lupher n'a pas la rigueur d un exposé mathematique. il traite surtout un point de l'histoire de
la physique théorique. Il ne précise pas la reponse à tes questions dans ton post 2.
Je soupconne egalement qu il a en tete un type particuler de representations pour lequel le
si et seulement si serait vrai.
Je cherche du coté des orbites de groupes des representations polaires

[AncMath]

Il n'y aucun type de représentation pour lequel le si et seulement si est vrai. Si est une représentation irréductible unitaire Hilbertienne de n'importe quel groupe alors équipé de la métrique orthogonale est une représentation non irréductible qui contient deux sous représentations irréductible orthogonales mais équivalentes.
Peut être souhaite-t-il parler des sous représentations isotypiques et non pas irréductibles mais en l’état le si et seulement si est faux et demande beaucoup de changements pour être sauvé.

[Murmure-du-vent]

pour montrer qu il n existe pas de telles representations, tu plonges 2 representations effectivement
quelconques dans une autre avec une metrique bien precise et tu dis avec celle la ca ne marche pas.

Il y a cependant une possibilité avec un choix de metriquie apres coup
ayant 2 representations sur des espaces hilbertiens par exemple l existence d un entrelaceur unitaire
est independante d une supermetrique sur un espace englobant les deux. et donc quand celle ci est
definie il n y a aucune raison que les deux sev soient orthogonaux a cause de l inequivalence de depart.

en revanche ce qui serait interessant c est de voir si on peut trouver une metrique sur v1 + v2
redonnant les sous representations ET ou la propriete enoncee par Lupher serait vraie.
la propriete ne serait plus a demontrer elle serait vraie par construction.

[Murmure-du-vent]

dans la phrase citee dans le premier post j en viens a me demander ce que signifie
if they are orthogonal
j ai vu qu on peut parler d une representation orthogonale
de plus avec les groupes finis avez vous trouvé pour des sous representations non equivalentes
des relations d orthogonalite pour ces sous espaces vectoriels?

[AncMath]

J'ai l'impression que tu ne lis pas mes messages.
J'ai donné une preuve ou plutôt l'idée de la preuve du fait suivant au message 6 :

Si est une représentation unitaire Hilbertienne d'un groupe topologique compact et si et sont deux sous représentations irréductibles de inéquivalentes alors et sont orthogonales.

Donc si il y a une bonne raison à ce que

les deux sev soient orthogonaux a cause de l inequivalence de depart

puisque j'en ai donné une preuve. Cette raison c'est le lemme de Schur : la restriction de la projection orthogonale sur qui existe car est fermé et convexe à entrelace et et donc s'annule par le lemme de Schur.

Ceci prouve une implication de ta proposition de départ

that two irreductible
representations are unitarily inequivalent if and only if they are orthogonal

Je t'ai donné aussi un contre exemple à l'implication réciproque au message 9.

[Murmure-du-vent]

Merci pour tes reponses
le suis tout a fait d accord sur l implication inequivalence => orthogonalit
ce que je remettais en cause c est ta phrase ou tu dis qu il n y a aucun type de representations ou on
a l implication dans l autre sens.
je te lis d autant mieux que tu es le seul a me repondre!

[Murmure-du-vent]

l'auteut ecrit
I am pretty sure the result is in the first volume of Kadison and Ringrose's book on operator algebras, which I don't happen to have on hand at the moment. Here is a rough sketch of the idea. If state 1 is orthogonal to state 2, then the transition probability <1|0>=0. Disjoint states also have a transition probability of 0. Two irreducible representations are either unitarily equivalent or disjoint. I believe you can find that result in Kadison and Ringrose or any operator algebra book. So, if two irreducible representations are unitarily inequivalent, then they are disjoint and thus have a transition probability of 0. That's a sketch for one part of the proof. I hope that helps.

[AncMath]

Je comprend pas pourquoi tu t'obstines... le résultat est clairement faux. Il te faut LE MODIFIER pour qu'il devienne vrai. Pourquoi s'acharner à prouver un résultat visiblement faux ?
Déjà écrit clairement l'énoncé que tu veux démontrer de manière précise ça te permettra d'y voir plus clair.

Pour être encore plus concret voici un contre exemple explicite.
Prenons y a pas plus compact ou plus fini. Prenons la représention donnée par qui envoie dans où est la matrice identité de taille 2. Les vecteurs de la base canonique vérifient et donc est une sous représentation de pour . Bien sur et sont orthogonaux. Et la matrice donne un opérateur d'entrelacement entre les deux sous représentations qui est une équivalence unitaire.

Concernant la réponse de l'auteur, plusieurs remarque :
1) On dirait bien qu'il ne parle pas de n'importe quelle représentation. Le résultat est "presque vrai" pour la représentation régulière il faut remplacer irréductible par isotypique. Regarde ce qu'il se passe par exemple pour la représentation régulière de . Il y a dedans des sous représentation orthogonales et équivalentes ça n'est pas le cas des sous-représentations isotypiques. D'ailleurs devrait suffire.
2) Il "prouve" encore l'implication que j'ai déjà prouvé plus haut, pas la réciproque.
3) Je suis allé voir dans le bouquin en question et ce résultat n’apparaît pas. Je parle du résultat de ton premier message pas du résultat dont l'auteur te dit

Two irreducible representations are either unitarily equivalent or disjoint. I believe you can find that result in Kadison and Ringrose or any operator algebra book.

celui là est vrai et totalement trivial.
Donc le résultat que tu mentionne au début et que j'ai interprété comme

Si est une représentation unitaire d'un groupe compact dans un espace de Hilbert alors deux sous représentations irréductibles de
sont non équivalentes ssi elles sont orthogonales.

Ce résultat ne semble pas figurer dans le bouquin. C'est pas très étonnant il est faux . Si tu voulais bien me donner un énoncé précis qui traduit l'énoncé de ton premier message, et qui ne pourra pas être , on pourrait sans doute y voir plus clair. Quitte à envoyer un mail à l'auteur c'est la première chose que je lui aurais demandé.
4) En dernier lieu, je te signale que dans l'implication qui est intéressante est celle qui est vraie. L'autre implication en plus d'être fausse n'est pas utilisé dans le papier que tu as joint à ton premier message.
Il y est écrit juste après le résultat que tu énonces

Thus, van Hove’s result that the Hilbert spaces of the stationary state space of the free
fields is orthogonal to the stationary state space of the interacting field (g ≠ 0) is
contained within Haag’s theorem

C'est bien l'implication inéquivalentes orthogonales qui est utilisée.

[Murmure-du-vent]

si je m obstine comme tu le dis c est qu en physique theorique il y a un grand flou autour du couple inequilalent/orthogonel

je te donne un autre exemple
Page 9
If it happens that ...... then <|theta = 0 and the two representations are inequivalent

il ecrit plus bas
thus H1 and H2 are orthogonal ans the associated representations ARE SAID to be unitarily inequivalenr

Il se peut que dans les cas traités on a des cas particuliers ou l orthogonalite implique l inequivalence mais
on reste toujours flou la dessus

ceci dit tout ce que tu as ecrit me convient

[AncMath]

Bon, je suis allé discuté un peu avec des collègues du labo de physique théorique. Et j'ai pu bricoler une explication que je trouve bancale mais bon.

Il semblerait que les physiciens utilisent "orthogonal" pour dire non quasi-équivalent/disjoint en ce qui concerne des représentations. C'est confirmé par exemple par ce papier à la page 7
http://philsci-archive.pitt.edu/2673...rfinalrevd.pdf

the said "orthogonality" being the physicists' lingo
for the mathematical concept of disjoint representations which,
for the case of irreducible representations, is coextensive with the concept of
unitarily inequivalent representations

Du coup l'énoncé original se réduit à peau de chagrin. Deux representations irréductibles sont inéquivalentes ssi elles n'ont pas de sous représentations non nulles équivalentes. Quel scoop...

[Murmure-du-vent]

Much ado about nothing