Loi de probabilité pour de grands nombres de tirages

[T-richelieu]

Bonjour,

Je beaucoup de mal à résoudre un type de problème de probabilité malgré mes recherches.

Par exemple :
Si pour un tirage on a :
-30% de chance de tirer de nombre 1
-50% de chance de tirer le nombre 2
-20% de chance de tirer le nombre 3.
On fait n tirages et on s'intéresse à la somme des nombres tirés.

Quand il n'y a que deux possibilités de tirage on s'en sort avec une loi Binomiale, mais comment faire lorsqu'il y a plus de possibilités?
Je ne réussi pas à trouver quelle loi suit ce problème. Intuitivement, j'aurais dit une loi Normale de moyenne 1,9*n, mais je ne sais pas comment calculer l'écart type.

Est-ce que mon intuition est bonne? Et si oui, comment calculer l'écart type?

Merci beaucoup!
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[minushabens]

Cette loi n'a pas de nom mais elle n'est pas difficile à calculer. Tu peux écrire une relation de récurrence sur n.

[T-richelieu]

Je n'ai que quelques notions en probabilités, tu pourrais me donner quelques informations de plus sur les étapes à suivre pour retrouver la loi de se problème?

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Il est toujours intéressant de revenir aux choses simples.
La définition d'une probabilité est le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possible.
Si vous faites un grand nombre de tirages, par exemple 1000, votre dé à 3 faces tombera combien de fois sur le 1, combien de fois sur le 2 et combien de fois sur le 3 ?
Sur les 1000 tirages, vous aurez quel nombre ?
A vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[T-richelieu]

Sur 1000 tirages on devrait tirer en moyenne 300 fois le 1, 500 fois le 2 et 200 fois le 3 et donc avoir en score d'environ 300+2*500+3*200 = 1900, ce qui correspond à l'espérance de 1,9*n dont je parlais. Là ou je bloque est pour répondre à des questions du type : quelle est la probabilité que le score cumulé soit de plus de 2000.

Est-ce qu'il faudrait dans ce cas créer une variable aléatoire S=X+2*Y+3*Z avec :
- S : "Le score cumulé de mille tirages"
- X : "Le nombre de fois que le 1 est tiré sur mille tirages"
- Y : "Le nombre de fois que le 2 est tiré sur mille tirages"
- Z : "Le nombre de fois que le 3 est tiré sur mille tirages"

Seulement, puisque les tirages de X, Y, et Z sont indépendants, X+Y+Z risque d'être différent de 1000...
Peut-être que cela ne pose pas trop de problèmes pour un grand nombre de tirage?

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas besoin de trois variables, puisque Z=1000-X-Y, donc S=3000-2X-Y.
Cependant, comme il y a une loi connue pour (X,Y,Z), la loi multinomiale, il est préférable de les utiliser.
Je te laisse regarder le document.

Attention : X, Y et Z ne sont pas indépendantes, puisque ce sont les mêmes 1000 tirages.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bon, en probabilités, il existe deux choses fondamentales, la loi des grands nombres et le TCL.
Dans le cas présent, ces deux notions sont utiles pour résoudre votre problème et répondre aux questions.
Petite aide : en moyenne vous aurez ce que vous avez calculé. Mais vous savez que la répartition des écarts à le moyenne suite la loi normale.

[T-richelieu]

Merci beaucoup gg0! Je ne connaissais pas cette lois.

Elle donne donc la probabilité des variables aléatoires X, Y et Z, mais j'ai encore du mal à voir comment on peut remonter à la répartition de S.
Sur beaucoup de site traitant de la loi multinomiale on trouve comment calculer Pr(X=n1; Y=n2; Z=n3) (avec n1+n2+n3=1000) mais à partir de ça comment on peut remonter à, par exemple, Pr(X+2Y+3Z>2000)?
Je vois bien une solution en listant toutes les combinaisons (X,Y,Z) donnant X+2Y+3Z>2000 et calculer la probabilité de chaque, mais c'est une tâche colossale pour un grand nombre de tirage comme cela... Dans ton lien on parle de la loi khi2 mais j'ai beau la retourner dans tous les sens je ne trouve pas la solution à mon problème.

Cordialement,

[feanorel]

D'après le TCL vous pouvez approximer votre somme de variables aléatoires indépendantes par une loi normale. L'espérance de la somme est bien n*l'espérance d'un tirage (1.9 ici). La variance de la somme sera aussi n*la variance d'un tirage (car les tirages sont indépendants). Attention c'est bien la variance qui est additive, pas l'écart-type.
Ici la variance d'un tirage est 0.2*(1-1.9)^2 + 0.5 (2-1.9)^2 + 0.3 * (3 - 1.9)^2

Si vous voulez une valeur plus précise vous pouvez prendre la loi multinomiale.

[T-richelieu]

Merci beaucoup Feanorel!

Je comprendrais sans doute jamais la justification mathématique mais au moins je peux résoudre mon problème!

[feanorel]

La justification est simple :
- par le TCL une somme de variable indépendantes et de même loi ressemble à une loi gaussienne (être plus précis que ça demande un peu de bagages probabiliste)
- l'espérance d'une somme est la somme des espérances (linéarité de l'espérance)
- la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances (règles de calcul de la variance)

Après y'a plus qu'a manipuler un peu la Gaussienne pour se ramener à une Gaussienne centrée réduite et lire la table

[gg0]

Feanorel,

pas de chance, les variables X, Y et Z ne sont pas ici indépendantes, même deux à deux, donc on ne peut pas utiliser ton raisonnement. Il va falloir raffiner sérieusement.

Cordialement.

[gg0]

Merci beaucoup gg0! Je ne connaissais pas cette lois.

Elle donne donc la probabilité des variables aléatoires X, Y et Z, mais j'ai encore du mal à voir comment on peut remonter à la répartition de S.
Sur beaucoup de site traitant de la loi multinomiale on trouve comment calculer Pr(X=n1; Y=n2; Z=n3) (avec n1+n2+n3=1000) mais à partir de ça comment on peut remonter à, par exemple, Pr(X+2Y+3Z>2000)?
Je vois bien une solution en listant toutes les combinaisons (X,Y,Z) donnant X+2Y+3Z>2000 et calculer la probabilité de chaque, mais c'est une tâche colossale pour un grand nombre de tirage comme cela... Dans ton lien on parle de la loi khi2 mais j'ai beau la retourner dans tous les sens je ne trouve pas la solution à mon problème.

Cordialement,

Effectivement, pour un total d'essais pas trop grand, on va additionner les différentes probabilités des cas exclusifs. C'est facilité par ma remarque du message #6, qui fera qu'on peut faire varier X de 0 à 500 et en déduire y, puis la proba. Avec un tableur, ça se fait très bien; pour un cas général (p1,p2 et p3=1-p1-p2 restant sous forme de lettres) il faudra faire un calcul mathématique pas très évident.
Pour un modèle approché pour n grand, il faudra un meilleur probabiliste que moi.

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai fait une simulation et pour 100 tirages l'écart type trouvé est 6.93.
Cela vous permettra de vérifier vos calculs.

[bon prof math]

Bonjour,
J'ai fait une simulation et pour 100 tirages l'écart type trouvé est 6.93.
Cela vous permettra de vérifier vos calculs.

as-tu une idée sur la précision de ton résultat 6.93 par rapport à la valeur demandée par T-richelieu ?

[bon prof math]

Par exemple :
Si pour un tirage on a :
-30% de chance de tirer de nombre 1
-50% de chance de tirer le nombre 2
-20% de chance de tirer le nombre 3.
On fait n tirages et on s'intéresse à la somme des nombres tirés.

comment calculer l'écart type.

c'est très simple !
calcul de la variance de la loi précisée ci-dessus :
espérance : m = 0.3*1 + 0.5*2 + 0.2*3 = 1.9
variance : v = 0.3*(1-m)^2 + 0.5*(2-m)^2 + 0.2*(3-m)^2 = 0.468

pour la somme de n tirages consécutifs indépendants, on obtient une variance de 0.468 * n
donc un écart-type de (0.468 n)^0.5

pour n=100, l'écart-type est donc environ 6.841

Faire une simulation est moins précis et plus long que de calculer de manière exacte la résultat !!

[Dlzlogic]

as-tu une idée sur la précision de ton résultat 6.93 par rapport à la valeur demandée par T-richelieu ?

Oui, J'ai un écart-type de 0.54.
Pour les proportions données, c'est largement suffisant. En fait, on pourrait arrondir à 7, puisqu'il s'agit de nombres entiers.

[feanorel]

Feanorel,

pas de chance, les variables X, Y et Z ne sont pas ici indépendantes, même deux à deux, donc on ne peut pas utiliser ton raisonnement. Il va falloir raffiner sérieusement.

Cordialement.

Heu, je relis le message initial :

Si pour un tirage on a :
-30% de chance de tirer de nombre 1
-50% de chance de tirer le nombre 2
-20% de chance de tirer le nombre 3.
On fait n tirages et on s'intéresse à la somme des nombres tirés.

Bon, si n est grand et qu'a priori les tirages sont indépendants on est pile dans le TCL. Utiliser X, Y et Z c'est un peu se compliquer la vie.

[bon prof math]

Appliquer le TCL signifierait
approcher la loi exacte pour la somme de n tirages (successifs et indépendants)
par la loi Normale d'espérance 1.9*n et d'écart-type (0.468*n)^0.5

On veut par exemple p = P( X+2Y+3Z >= 2000) avec X+Y+Z=1000 ?
J'ai fait les calculs exacts (long), je trouve p = 3.66 * 10^(-6) environ

feanorel,
que trouves-tu avec l'approximation par la loi normale ?

[bon prof math]

Oui, J'ai un écart-type de 0.54.
Pour les proportions données, c'est largement suffisant. En fait, on pourrait arrondir à 7

Je ne sais pas ce qui est suffisant, mais c'était un peu présomptueux de donner plusieurs chiffres après la virgule (6.93) alors qu'aucun n'était probablement bon (vu ton 0.54 !)

De manière générale, plutôt que donner un nombre très vague, c'est bien mieux de donner un encadrement...

Mais de toute façon, on a la formule exacte de l'écart-type (0.468 n)^0.5 , alors toutes ses approximations laborieuses par simulation n'ont pas d'intérêt.

, puisqu'il s'agit de nombres entiers.

??? ben non, l'écart-type cherché n'est pas un nombre entier ....

[gg0]

Feanorel,

que veut dire "on est pile dans le TCL" ? Quelle est la variable aléatoire dont la somme est approximée ?

Cordialement.

NB : j'ai une petite idée, mais je voudrais comprendre à quoi tu penses. Ça éclairera peut-être mon intuition pas encore correctement formulée.

[feanorel]

gg0, je ne vois vraiment pas la difficulté.
Le premier message parle d'une somme de n tirages, chacun de même loi (et de variance bornée puisqu'à support fini).
Appelons $T_i$ la va associée au tirage i.
Je fais l'hypothèse supplémentaire que ces tirages sont indépendants.
On note S=\sum_{i=1}^{1000} T_i la somme des 1000 premier tirages,
1000 étant raisonnablement grand je fais l'approximation asymptotique liée au TCL pour considérer que P(S >2000) (la question type que se pose le demandeur)
est proche de P(G>2000) où G est une normale d'espérance 1900 et de variance 468. Sauf erreur la proba est alors d'environ 0.415

Ou alors j'ai mal lu une partie de l'énoncé ?

@bpm : j'ai l'impression que tu as gardé n = 100, sinon 2000 étant a moins d'un écart-type de l'espérance ton estimation de proba à 10^-6 me semble douteuse.
En revanche si on part dans la queue de probabilité le TCL n'est plus l'outil adéquat.

[bon prof math]

une normale d'espérance 1900 et de variance 468. (...)
@bpm : j'ai l'impression que tu as gardé n = 100, sinon 2000 étant a moins d'un écart-type de l'espérance ton estimation de proba à 10^-6 me semble douteuse.

houla non : espérance 1900 et variance 468, OK , donc écart-type 21.6 environ. La distance entre l'espérance et la valeur 2000 est de 4.6 écart-type ! Donc la proba va être minime (de l'ordre de 0.1^6 comme j'ai précisé).

En revanche si on part dans la queue de probabilité le TCL n'est plus l'outil adéquat.

et c'est justement là où nous sommes

[gg0]

Effectivement, Fdeanorel,

en considérant que Ti vaut 1, 2 ou 3 avec les probabilités 0,3, 0,5 et 0,2, on peut approximer, au voisinage de la moyenne par une loi Normale. Ce qui ne règle pas les cas éloignés de la moyenne, pour lesquels l'approximation devient sans intérêt.

Cordialement.

[feanorel]

Effectivement, j'ai gentiment penser que racine de 468 était 200 quelquechose. Mea culpa.

Ceci dis je suis prêt à parier que la question initiale ne cherche pas à avoir plus que "<0.001"
comme réponse et que le 2000 était donné au pif, en guise d'exemple. Et vu le bagage proba
qu'il semble avoir, je préfères préciser la méthode simple avant d'essayer de lui montrer les calculs
plus laborieux.

[Dlzlogic]

Bonjour,
On peut lire souvent que la loi binomiale peut être approximée par la loi normale.
C'est le contraire : la loi normale est rigoureuse, la loi binomiale suit à peu près la loi normale, suivant certaines conditions.
Le TCL parle de loi normale et non de loi binomiale (multivariée dans le cas présent). En fait le calcul numérique de bonprof... est une méthode d'approximation dont je ne connais pas la précision.
Il ne faut pas oublier non plus que la variable étudiée est la somme de N tirages.
Donc on appelle expérience la mesure de cette variable. Avec une expérience, on dispose d'une seul valeur pour la variable. Ca me parait un peu court, ne serait-ce que pour valider le calcul.
La loi normale a une particularité, la courbe représentative est unique à une translation et une mise à l'échelle près. La valeur de l'écart type est l'abscisse du point d'inflexion. Le rapport entre l'écart type (emq) et l'écart moyen arithmétique est exactement racine(pi/2). Il y a d'autres particularités que j'ai oubliées.

[bon prof math]

feanorel ,
nous sommes d'accord à 100% ! sur les limites de l'approximation par la loi normale ; sur le fait que c'était qu'un exemple certainement au pif ; sur le fait qu'il vaut mieux pour de néophytes avoir des méthodes simples (simples, mais avec des limites qu'il faut connaitre, c'est pas si facile de comprendre avec un niveau modeste).

[feanorel]

Bonjour,
On peut lire souvent que la loi binomiale peut être approximée par la loi normale.
C'est le contraire : la loi normale est rigoureuse, la loi binomiale suit à peu près la loi normale, suivant certaines conditions.
Le TCL parle de loi normale et non de loi binomiale (multivariée dans le cas présent). En fait le calcul numérique de bonprof... est une méthode d'approximation dont je ne connais pas la précision.

C'est du grand n'importe quoi. Ici la somme est exactement une loi binomiale (multivariée), que l'on approxime par une loi normale. Comment en être certain :
- la somme prend des valeurs entières uniquement (impossible d'avoir une valeur entre 1900.1 et 1900.5) alors qu'une loi normale prends des valeurs non entières presque sûrement
- la somme est bornée (au max 3000, au min 1000), la loi normale non (il y a une proba non nulle d'être > 3000 ou <1000)
- le TCL dis que la somme (multiplié par \sqrt{n}) de variables iid tends en loi vers une loi normale, pas qu'elle est exactement une loi normale

[bon prof math]

en complément à feanorel, qui explique clairement la chose,

On peut lire souvent que la loi binomiale peut être approximée par la loi normale.

en effet, c'est l'habitude, pour des raisons d'efficacité de calcul, on approxime souvent par la loi normale. C'est aussi valable pour d'autre loi "additive" ...
Mais cette habitude est de moins en moins pertinente car les machines sont de plus en plus performantes et peuvent faire des calculs exacts sans approximation par la loi normale.

C'est le contraire : la loi normale est rigoureuse, la loi binomiale suit à peu près la loi normale, suivant certaines conditions.
Le TCL parle de loi normale et non de loi binomiale (multivariée dans le cas présent).

Quand tu auras compris ce que dit le TCL, en particulier la première version de Moivre-Laplace qui date de 300 ans https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...Moivre-Laplace , tu t'apercevras des idioties que tu racontes :
1) cela n'a aucun sens de dire qu'une loi est rigoureuse...
2) le TCL parle de somme de variables aléatoires idd, et justement, une variable qui suit la loi binomiale est la somme de n variables iid suivant une loi de Bernoulli.

En fait le calcul numérique de bonprof... est une méthode d'approximation dont je ne connais pas la précision.

la précision est maximale... C'est un calcul totalement élémentaire (dans sa conception), niveau que tu n'as pas d'après ce que tu dis.

Il ne faut pas oublier non plus que la variable étudiée est la somme de N tirages.

Merci de nous avoir rappeler qu'il ne faut pas oublier l'hypothèse... Et tu nous donnes quand tes conclusions concrètes sur cet exercice ?