Bonjour à tous.
Actuellement je travaille sur un sujet de thermodynamique, et je dois à un moment calculer l'intégrale de :
cos(x)^2/(a^2+(b*cos(x))^2)
J'ai bien pensé à un changement de variable mais je ne vois pas lequel.
J'aimerai un petit coup de main s'il vous plait.
Merci d'avance.
Tu as essayé une intégration par partie ?
A vrai dire non. Je vais essayer pour voir.
J'oublie bien souvent que ce sont parfois les techniques les + simples qui marchent le mieux.
En tout cas merci du conseil.
Autre chose, peux-tu donner les bornes de l'intégrale ou cherches tu juste la primitive intégrale ?
Les bornes d'intégration sont : x variant de 0 à Pi/4.
Mais en fait une primitive m'arrangerait aussi bien.
Si tu en connais une je suis preneur.
Finalement, je ne suis pas convaincue par une intégration par partie. En tout cas, ce n'est pas immédiat.
Je suis d'accord, j'ai essayé en décomposant le numérateur en produit de 2 cosinus, et en intégrant ensuite l'un par parties, le terme intégral restant est assez "baston".
Là je suis en train de voir en linéarisant les cos^2 : j'ai obtenu l'intégrale de :
(1 +cos(2x))/(a^2+b^2*(1+cos(2x))).
Ensuite je pose u=2x donc il y a un 0.5 qui sort de l'intégrale, les bornes deviennent : 0 à Pi/2.
Au final : (1+cos(u))/(2a^2+b^2*(1+cos(u)))
Peut-etre ici il y a un changement de variable visible à faire en tout cas je vois pas (mis à part t=tan(u/2))
Je vois que le changement de variable t = tang(u/2).
Je crois qu'avec ce changement de variables, tu dois réussir à trouver la solution, mais c'est sur que c'est bourrin.
Tous les changements de variables suivant fonctionnent : u = cos(x), sin(x), tan(x), tan(x/2).
(voir les règles de Bioche)
Pour cos(x) et sin(x), ce n'est pas terrible ici, ça introduit une racine carrée (des fois on a pas le choix), mais tan(x) marche bien.
Re : Intégration difficile
Je n'ai pas le temps de te donner les détails mais voici la primitive si tu veux vérifier tes calculs.
( x / b^2 ) -
( a * ArcTan{ a * Tan[x] / Sqrt[a^2 + b^2] } ) /
( b^2 * Sqrt[a^2 + b^2] )
Bon courage
En utilisant les règles de Bioche :
w(u) = cos(u)^2/(a^2+(b*cos(u))^2) du
w(-u) = - w(u)
w(pi - u) = - w(u)
w(pi + u) = w(u)
Donc seul tan(u) fonctionne, si j'ai bien compris.
ouaa c'est compliqué quand même.( x / b^2 ) -
( a * ArcTan{ a * Tan[x] / Sqrt[a^2 + b^2] } ) /
( b^2 * Sqrt[a^2 + b^2] )
.............................. ...
Merci à tous, je vais tester les propositions que vous me faites (u=tan(x)) et voir si je retombe sur la réponse que vous m'avez fourni.
Disons que la règle de Bioche dit qu'il faut utiliser tan(u). Mais les autres fonctionnent aussi (moins bien).Envoyé par jreeman
D'un autre coté le résultat donné par Galilée, ce n'est pas ce que tu cherches, puisque c'est une primitive, alors que toi tu cherches une intégrale avec des bornes 0 et pi/4.Merci à tous, je vais tester les propositions que vous me faites (u=tan(x)) et voir si je retombe sur la réponse que vous m'avez fourni.
J'ai vu que pour pouvoir faire un changement de variables, il faut que la fonction du changement de variables soit définie sur l'intervalle, or ta fonction est défini sur R, alors que tan(u) n'est pas définie en pi/2, donc je sais pas si tu trouveras pareil...
J'ai dit une demi bétise. Y'a de grandes chances que tu trouves pareil, si le resultat donné est bon, bien sur.
Je suis plus étonné par la la complexité du résultat donné, une intégrale de fonctions rationnelles, ca donne pas des fractions rationnelles ?
Je trouve la même chose.
Non, et d'ailleurs, celle-là s'intègre remarquablement facilement, et le résultat est finalement assez simple.
Par contre, il y a toujours 36 manières différentes d'écrire le résultat final (ça dépend de la manière dont on intègre, et ça revient souvent à bidouiller des formules de trigo pas forcément simples).
Voir ce fil : http://forums.futura-sciences.com/sh...t=int%E9grales
Dernière modification par matthias ; 12/05/2006 à 15h16.
Merci à tous, je vais essayer de voir avec tan(u) si j'arrive au même résultat que vous.
Maple:
donc
Le résultat avait déjà été donné ...
Merci beaucoup.
En effectuant le changement de variables u=tan(x), je trouve les mêmes résultats que vous sans problèmes.
Encore merci.
en utilsiant la methode des réisdus ça doit etre jouable
en faisant un calcul sans doute faux javoue je trouve
a^2/(a^2+b^2)
bon ben les residues ça marche pas!!!!Maple:
donc
