contraction d'une p-forme avec un p-vecteur

[mach3]

Bonjour,

Je bouquine Gravitation, de Misner, Wheeler et Thorne et je bug sur un truc à la page 92, où on contracte une p-forme avec un p-vecteur A :



(avec les indices entre |...| tels que i1<i2<..<ip, les des vecteurs de base et les des 1-forme de base, tels que )

Le terme en <...,...> est souligné par une accolade sous laquelle est indiqué que cela équivaut à et cela je n'arrive pas à le retrouver. Si je le fait à la main, je tombe sur

Exemple pour p=2







où est-ce donc que je me gourre?

merci

m@ch3
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[Amanuensis]

? T'es sûr que



Il me semble que non, par exemple:

En dimension 2, en notant {x, y} la base des 1-formes, une base des 2-formes est {xy} (car x wedge x = y wedge y =0, et y wedge x = -x wedge y)

(ax+by) wedge (cx+dy) = ad xy + bc yx = (ad-bc) xy

alors (ax+by)(cx+dy) - (cx+dy)(ax+by) = (ad-bc) xy + (bc-ad) yx = 2 (ad-bc) xy

non?

[AncMath]

Il te manque sans doute une normalisation. Mais dans tous les cas tu ne devrais jamais scinder un quotient a moins que quelqu'un ne braque un cornichon sur ta tête.

La définition de l'accouplement -formes et -vecteurs est donné par qui associe à qui est une association -linéaire alternée en les premiers arguments mais aussi les derniers. Cela te donne une application qui est bilinéaire et donc te donne l'application que tu cherches et donne immédiatement le résultat de ton livre.

[AncMath]

D'ailleurs quand est projectif de type fini, typiquement un espace vectoriel fini, cet accouplement identifie avec de telle sorte que est simplement donné par le crochet de dualité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

? T'es sûr que

j'ai en effet pensé que ça pouvait venir de là, mais ils disent qu'une 2-forme se construit ainsi (p 83 eq 3.45b)...
Je vais lire et comprendre la suite de ton message avant d'y répondre.

m@ch3

[mach3]

@AncMath : c'est donc dans la définition de < , > qu'est l'os? Selon ce que l'on met dedans (1-forme et vecteur ou 2-forme et 2-vecteur, ou encore tenseur quelconque 2 fois covariant et tenseur quelconque 2 fois contravariant...) ce ne serait pas la même opération?

Par exemple quand j'ai <a,u> avec a un covecteur et u un vecteur, cela s'exprime a_i u^i, mais si ce sont des tenseurs, ce n'est pas a_ij u^ij ?

m@ch3

[Amanuensis]

j'ai en effet pensé que ça pouvait venir de là, mais ils disent qu'une 2-forme se construit ainsi (p 83 eq 3.45b)...
Je vais lire et comprendre la suite de ton message avant d'y répondre.

Pour moi le produit extérieur, c'est le produit tensoriel modulo l'idéal engendré par les x tensoriel x. Une 2-forme est une classe modulo cet idéal.

Je fais les calculs comme en tensoriel, en virant les termes appartenant à l'idéal.

Je vais regarder le MTW, mais ce n'est pas dans mes références pour ce genre de maths...

[Amanuensis]

Par exemple quand j'ai <a,u> avec a un covecteur et u un vecteur, cela s'exprime a_i u^i, mais si ce sont des tenseurs, ce n'est pas a_ij u^ij ?

Attention, il n'est pas question dans la question originelle de tenseurs en général, seulement de produits tensoriels de p vecteurs ou p formes, c'est bien plus restreint.

Il me semble que l'application "naturelle" ExE x E*xE* -> K est bien définie comme le produit des "contractions" terme à terme.

[AncMath]

@AncMath : c'est donc dans la définition de < , > qu'est l'os? Selon ce que l'on met dedans (1-forme et vecteur ou 2-forme et 2-vecteur, ou encore tenseur quelconque 2 fois covariant et tenseur quelconque 2 fois contravariant...) ce ne serait pas la même opération?

Il n'y a pas d'"os" justement.
Mais bien sûr que le crochet peut représenter 10 000 choses en fonction de ce sur quoi il agit.

Par exemple quand j'ai <a,u> avec a un covecteur et u un vecteur, cela s'exprime a_i u^i, mais si ce sont des tenseurs, ce n'est pas a_ij u^ij ?

Le crochet est bien sur défini comme . Bien sûr on pourrait prendre comme définition par exemple, mais ca ne serait pas très canonique. Si tu prend vecteurs et formes linéaires dans et qui engendrent disons et alors tu as un isomorphisme . La seule application canonique que l'on voit dans le cas où c'est l'application nulle : il n'y a pas de bonne définition pour le déterminant d'une application linéaire entre deux espaces différents, cela dépendra des choix que l'on fait.

Par contre dans le cas contraire l'isomorphisme est "canonique" parce qu'on une manière de le choisir naturelle à savoir le rendre compatible avec le crochet. C'est à dire qu'on impose s'envoie sur 1 pour une et donc pour toute base de . Cela revient à normaliser le déterminant de l'identité à 1. Ce qui est en général le choix que l'on fait, c'est le choix naturel.

Ceci conditionne tout le reste et te donne la définition de la "contraction" que tu utilises plus haut.

[AncMath]

Pour reformuler ce que je viens de dire de manière plus concrète sur l'exemple que tu traites.
Quand tu calcules tu évalue un "déterminant" d'une application de où les sont des éléments de et les des éléments de ceci vaut bien sur si et sont différents et si le déterminant que tu choisis est normalisé par le fait qu'il envoie l'identité sur 1. Dans ton cas il envoie l'identité sur 2. Ce qui n'est pas la normalisation usuellement choisie.

Tout ceci est assez trivial mais peut être déroutant au début le temps de s'habituer au nouveau langage.

[AncMath]

Juste un dernier message et ensuite j’arrête de radoter je le promet. Quand j'écris

Par contre dans le cas contraire l'isomorphisme est "canonique" parce qu'on une manière de le choisir naturelle à savoir le rendre compatible avec le crochet.

Ce que je veux dire c'est bien sur que l'isomorphisme que l'on choisit envoie sur pour une et donc toute base de . C'est bien sur encore une manière de dire que l'on fixe

[AncMath]

J'avais promis mais je ne peux me retenir.
Tu as une autre manière de voir les choses tout aussi triviale mais assez fructueuse. La bidualité te permet d'identifier et . Si est n'importe quel espace vectoriel alors tu peux définir la "contraction" comme l'unique application qui coïncide avec l'évaluation d'une forme sur vecteur si tu appliques sur une forme linéaire et qui soit une anti-dérivation de l'algèbre graduée ; ici est l'algèbre extérieure sur avec la graduation évidente.

En identifiant à dans le cas fini tu as une "co-contraction" définie exactement de la même manière et qui coïncide avec la précédente dans le cas où on agit sur la partie de degré 1.
Tu définit ainsi une contraction qui est une "bi-anti dérivation" sur il n'est pas très difficile de prouver que cela étend la construction précédente et cela donne la contraction dans le cas le plus général.

Bien évidement tout ceci étant canonique cela se généralise à n'importe quel fibré vectoriel "fibre à fibre".

[Amanuensis]

? T'es sûr que

Je reviens là-dessus, en mettant le calcul un peu plus propre.

En dimension 2, soit E un e.v., et {x, y} base de E*. On note par une barre au-dessus d'un élément de la classe qu'il représente, qui est un élément de .

Une base de est . , l'espace des 2-formes, est engendré par les classes représentées par les éléments de la base de , soit , il ne reste que , soit .

Cherchons les coordonnées dans cette base du produit extérieur des formes de coordonnées (a, b) et (c, d).

Premier calcul, en appliquant les règles de calcul du produit extérieur:



Calculons maintenant, l'expression proposée, en tensoriel



Si on en prend le modulo, alors on obtient

[AncMath]

Je reviens là-dessus, en mettant le calcul un peu plus propre.

En fait ton calcul semble un peu incohérent, je m'explique.
Si tu définis le produit extérieur l'image du produit tensoriel via le quotient, ce que tu utilises par exemple quand tu écris

alors tu obtient tout de suite que
ne peut être l'image de puisque ce dernier s'envoie sur dans le quotient.
Bien sûr je dis la même chose que toi, mais ce que je veux dire c'est que tu n'as même pas besoin de le calculer en fonctions de bases, c'est simplement l'anticommutativité du produit extérieur.

Par contre si tu te tiens à la définition proposée dans le premier message elle n'envoie pas le produit tensoriel sur le produit extérieur !
La fin de ton calcul change du coup .

Ton calcul illustre que les deux définitions ne sont effectivement pas compatibles. En fait on ne peut pas scinder de manière globale la projection de l'algèbre tensorielle sur l'algèbre extérieur en prenant un scindage qui soit un morphisme d'algèbre.

Bien sûr la "bonne" définition est celle que tu as choisi, le produit tensoriel s'envoie sur le produit extérieur.

Je ne sais pas si mon message est très clair dans ce qu'il veut faire passer.

[Amanuensis]

En fait ton calcul semble un peu incohérent

Si vous le dites...

Si tu définis le produit extérieur l'image du produit tensoriel via le quotient,

Pas moi qui le définis ainsi, cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Exteri...aic_properties

Nul besoin d'agresser en personnalisant, merci de s'en rapporter à la littérature générale.

[Amanuensis]

Et rappel, la discussion porte sur l'origine de l'incohérence trouvée par Mach3, et décrite dans le premier message.

Je cherche à réfléchir là-dessus et rien d'autre.

La question est si ou non l'incohérence est lié à ce que j'indique ou non.

C'est à Mach3 de répondre, c'est lui qui sait quelles hypothèses fondent son calcul.

[AncMath]

Je ne vois pas d'agression dans mon message. Mais je te présente mes excuses si tu t'es senti agressé.
Ce que je dis c'est qu'il y a dans ton calcul 2 définitions différentes du produit extérieur qui effectivement ne sont pas compatibles :
La première est celle donnée par le tout premier message qui définit comme l'image de dans le quotient et la seconde celle de ton message qui est celle usuelle l'image de dans le quotient.
Bien sur que les deux ne sont pas compatibles puisque la seconde est la moitié de la première.

Mais bien sur l'incohérence est liée à ce que tu indiques : les deux définitions qui différent d'un facteur 2. Ce que je signalais c'est qu'il était possible même si inadéquat d'utiliser la définition 1 du premier message mais il faut alors la conserver. Nous ne disons pas autre chose l'un et l'autre je pense.

[Amanuensis]

calcul 2 définitions différentes du produit extérieur

Pas le cas dans mon message. Merci de lire le message.

Devrait être clair que pour moi il n'y a qu'une définition "consensuelle". (Comme c'est usuellement le cas en maths.)

Libre à des auteurs (en particulier physiciens) d'en prendre une autre, et à d'autres de la justifier.

Et de toutes manières ce n'est pas vraiment le sujet.

Si la conclusion est que l'incohérence du résultat de calcul de Mach3 est due à l'usage de définitions incompatibles, pas de problème.

---

Je reste intéressé principalement par l'opinion de Mach3.

[mach3]

Bon, je vais essayé de dégagé ce que je ressors de vos commentaires et de lectures par ailleurs

Déjà, apparemment, les définitions suivantes :
,
,
sont abusives, car elles suggèrent que les 2-formes et les 2-vecteurs sont des tenseurs d'ordre 2 (parce que différences de deux tenseurs d'ordre 2, deux fois covariant pour l'un, deux fois contravariant pour l'autre), autrement dit que l'ensemble des 2-vecteurs est un sous-ensemble de l'ensemble des tenseurs 2 fois covariant . Je n'avais pas compris ça. Pour moi un 2-vecteur c'était un tenseur antisymétrique 2 fois contravariant et puis c'est tout. Ce que je crois mieux comprendre maintenant, c'est qu'en fait ce sont deux choses différentes, mais qu'il y a un morphisme entre les 2-vecteurs et les tenseurs antisymétriques 2 fois contravariant, et que cela conduit à les confondre...

Je continue de lire, réfléchir et comprendre, dites-moi déjà si ce que je dis tient debout.

Merci

m@ch3

[AncMath]

Bon, je vais essayé de dégagé ce que je ressors de vos commentaires et de lectures par ailleurs

Déjà, apparemment, les définitions suivantes :
,

Ce n'est pas une définition "abusive" mais c'est une définition malhabile. Laisse moi t'expliquer pourquoi.

Il faut bien realiser que tous les objets dont on parle ici sont définis à isomorphisme unique prés. Pour bien te faire comprendre ça, tu peux déjà realiser par exemple que n'est pas égal à ils sont simplement canoniquement isomorphes. De sorte que les objets ne dépendent pas de leur construction particulière. Elles seront toutes isomorphes canoniquement. Mais être isomorphes ça n'est pas être égal.

Ainsi le 2-produit exterieur c'est un espace vectoriel muni d'une 2-forme alternée qui soit universelle. Tu peux construire et la 2-forme de plusieurs manière differentes.

Je vais t'en donner deux en supposant à chaque fois que l'on a construit auparavant le produit tensoriel il est équipé d'une forme-bilinéaire universelle .

La première, celle de ton premier message, consiste à regarder le SOUS ESPACE de constitué comme tu le dis des tenseurs totalement antisymétriques, notons le , la 2-forme alternée est donnée par .

La seconde, consiste à regarder le QUOTIENT de par le sous espace engendré par les tenseurs symétriques, notons la . La 2-forme alternée est alors définie comme la composition

Ces deux constructions sont canoniquement isomorphes il suffit d'envoyer par s'envoie sur . Alors pourquoi s’embêter me diras tu ?

C'est bien la seconde qui est meilleure pour 2 raisons essentielles.

La premiere c'est que si on peut toujours identifier au sous espace de fois des tenseurs totalement antisymétriques, tu ne peux pas identifier à une sous algèbre de . Alors que s'indentifie bien à une quotient de l'algèbre de .


La seconde encore plus sérieuse c'est que se donner une application 2-alternée c'est a fortiori se donner une application 2-linéaire et donc cette application doit se factoriser en et donc . Autrement dit l'application naturelle donnée par la propriété universelle de est donnée par , restreinte à elle n'est pas l'identité mais la multiplication par 2.

D'ailleurs c'est toujours le même 2 qui t’embête dans ton premier calcul. C'est a dire que si tu veux calculer un produit extérieur entre 1-tenseurs, tu ne dois pas simplement totalement antisymétriser le produit tensoriel, il faut aussi le normaliser par un facteur 2, ce facteur changera des que changeront l'ordre des tenseurs antisymétriques dont tu veux prendre le produit extérieur pour des tenseurs d'ordre et le facteur devra être qqch comme .

Alors que est donnée par simplement le passage au quotient .

[AncMath]

Dans tous les cas, le mieux est de raisonner indépendamment de la construction choisie pour l'objet en question. C'est d'ailleurs toujours plus simple. Après tout quand tu calcules la somme de deux réels tu ne te demandes pas si tu les vois en tant que classes de suites de Cauchy ou coupures de Dedekind.

Ps : j’espère que ma litanie ne t'a pas découragé à me lire ou t'as fait croire que le sujet était obscur. J'ai écris certes beaucoup mais c'était pour ne laisser aucune poussière sous le tapis. Ça ne devrait pas être indigeste normalement.

[Amanuensis]

car elles suggèrent que les 2-formes et les 2-vecteurs sont des tenseurs d'ordre 2

Ce sont des tenseurs d'ordre 2 comme les entiers modulo 7 sont des entiers.

I.e., on peut appliquer toute l'arithmétique des entiers "normaux" sur les entiers modulo 7 (attention aux divisions par 0, quand même), mélanger, et prendre le modulo à tout moment (et à la fin).

En plus il y a des isomorphismes "naturels" quand on utilise des bases, comme dans l'exemple développé précédemment entre le sous espace vectoriel de E*x E* engendré par x\otimes y et les 2-formes (espace engendré par la classe du précédent).

C'est commode même si pas toujours rigoureux. Mais il faut toujours garder en tête la prise de modulo.

que l'ensemble des 2-vecteurs est un sous-ensemble de l'ensemble des tenseurs 2 fois covariant . Je n'avais pas compris ça. Pour moi un 2-vecteur c'était un tenseur antisymétrique 2 fois contravariant et puis c'est tout.

Ça c'est le même genre d'abus (assez bénins) que dire que R est un sous-ensemble de C, ou (plus proche) que les entiers modulo 7 sont un sous-ensemble des entiers. Il s'agit d'isomorphismes, pas d'une inclusion. Et il n'y a pas d'isomorphisme canonique, juste un assez naturel une fois une base choisie. Le choix de l'isomorphisme est en fait arbitraire (comme travailler avec {-1, 0, 1} pour les entiers modulo 3, ce qui a pas mal d'avantages comparé à l'usuel {0, 1, 2}).

[Médiat]

Bonjour,

Ça c'est le même genre d'abus (assez bénins) que dire que R est un sous-ensemble de C,

Parfaitement exact et parfaitement acceptable comme abus.

ou (plus proche) que les entiers modulo 7 sont un sous-ensemble des entiers. Il s'agit d'isomorphismes, pas d'une inclusion.

Cela, par contre n'est pas acceptable, puisque justement il n'y a pas d'isomorphisme

[azizovsky]

Bonjour, je crois que le hic est dans la définition :.

ps:

[mach3]

Bon, je digère, progressivement. Une question pour voir si j'ai bien compris quelque chose.

Peut-on dire, dans le cas à 2D avec x et y comme vecteurs de base, que tous les tenseurs de la forme :

sont dans la classe d'équivalence correspondant à ?

m@ch3

[AncMath]

Oui, bien sûr.

[mach3]

Ho! ho! merci, j'ai donc vraiment compris un truc. Je continue. D'une manière plus générale, les tenseurs de la forme :

, avec S un tenseur symétrique, sont-ils dans la classe d'équivalence correspondant à (ça vous parait peut-être évident, mais moi je patauge, bien que ça commence à se décanter).

m@ch3

[AncMath]

Oui, aussi.

[Amanuensis]

Je ne comprends pas trop la notation. Sij est une matrice symétrique, et le sigma est omis, c'est ça? [Perso je ne trouve pas rigoureux ce genre de notation, et encore moins de parler de Sij comme un tenseur...]

C'est juste une manière compliquée de prendre en compte que modulo l'idéal, ce qui se démontre en écrivant

[AncMath]

Je pense que ce que Mach3 a voulu dire c'est que étant un tenseur symétrique, il se décompose dans la base comme . La symétrie de impose celles des en . A lui de confirmer. Quel manque de rigueur y voyez vous ?

Mais c'est vrai que dans tous les cas le décomposer ne sert à rien, il suffit simplement à regarder le diagramme

dont il est facile de voir qu'il commute.

Mais je réitère mon conseil originel à Mach3 : je te conseille de ne pas scinder de quotients en général.

Ps : Je suis désolé de la médiocre qualité de mon diagramme mais je n'arrive pas à faire mieux avec cet éditeur.