Théorie des motifs / Equivalence numérique

[Anonyme007]

Bonjour,

Est ce quelqu'un sait où je peux trouver la démonstration au théorème suivant :

est une catégorie abélienne semi-simple



est l'équivalence numérique.

Merci d'avance.
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[AncMath]

Ça doit pas être trop dur à prouver quand on sait que les groupes de Chow numériques sont de dimensions finies pour une variété propre et lisse sur un corps ce qui est un résultat classique.

[Anonyme007]

Oui, mais je voudrais une référence détaillée, c'est mieux. C'est un résultat du cours, et non un exercice. Je suis encore débutant en la matière. J'ai cherché dans le livre d'André Yves, Introduction aux motifs, je n'ai rien trouvé.

[AncMath]

Une référence pour quoi exactement ? Pour la semi-simplicité ? Ou pour le caractère fini des groupes de Chow numériques ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Pour tout le théorème que j'ai cité plus haut. Dans quel livre, je peux trouver ça ?

[AncMath]

Je l'ignore mais comme je te dis ça n'a pas l'air très difficile à démontrer. Essaie d'écrire la démonstration. Tu n'auras pas besoin de référence comme ça.

[Anonyme007]

Je sais montrer le sens direct , je l'ai trouvé sur le net, mais pas le sens inverse. Il faut passer par ce que tu as dit : est une - algèbre semi-simple de dimension finie.

[AncMath]

Tu sais montrer le sens direct ? Tu es sûr ? Car ce que tu énonces est l'argument clé pour le sens réciproque.

Du reste je n'avais pas vu que tu cherchais à montrer une équivalence. Au débotté je n'ai pas trop d'idée pour montrer le sens direct : la catégorie est semi simple seulement si l'équivalence est l'équivalence numérique. Je vais y réfléchir.

[AncMath]

Ah ! Je suis encore plus bête que de coutume ! Le sens direct est totalement trivial. Tout point -rationnel d'une variété lisse et propre te donne un monomorphisme scindé dans la catégorie des motifs si celle ci est supposée abélienne semi-simple. Mais ça te donne tout de suite que l'équivalence de la catégorie des motifs est l'équivalence numérique.

[Anonyme007]

Voici le sens direct : :

On suppose que est abélien, et semi simple, mais que . On sait que pour toute relation d'équivalence adéquate .
On suppose que : mais que : .
Par suite, dans donné par : et puisque , alors .
Puisque est abélien, et semi simple, alors telle que . est donné par . Par suite, .
Puisque : , alors : . Par conséquent, n'est pas numériquement équivalent à . Contradiction, Par conséquent : .
Maintenant, je voudrais avoir le sens inverse : si possible.

[AncMath]

On sait que pour toute relation d'équivalence adéquate .
On suppose que : mais que : .

Tu ne peux pas être sérieux quand tu écris ça ! La deuxième ligne n'a même pas de sens.

[Anonyme007]

On sait que : pour tout adéquate. Il reste à montrer que : .
Par absurde, supposons que :
C'est à dire, supposons que , mais que .
Non ?

[AncMath]

Je ne sais même pas quoi répondre à ça. Ça n'a tout simplement pas de sens.

[Anonyme007]

Qu'est ce qui n'a pas de sens ?

[AncMath]

Ce que tu écris !
D'autant plus que ça n'a aucun rapport avec le problème initial enfin mis à part que les objets sont effectivement ceux mis en jeu par le problème initial. Mais c'est purement un truc de théorie des ensembles basique. Ce que tu écris n'a pas de sens. Je ne sais pas si c'est simplement de la maladresse de retranscription d'autant plus que ça n'a aucun intérêt pour le reste de l'affaire.

[Anonyme007]

Je ne comprends pas ce que tu dis. De quoi tu parles ?
Moi, ce qui m’intéresse, c'est le sens , tu l'as ou non ?

[AncMath]

Je parles de ce que tu écris !
Quant au sens réciproque, tu as écrit

Il faut passer par ce que tu as dit : est une - algèbre semi-simple de dimension finie.

avec ça le sens réciproque tombe tout seul.

[AncMath]

Bon j'ai griffonné la démonstration y a pas de difficulté particulière une fois qu'on connait l'existence une cohomologie de Weil. Je scannerai éventuellement ce que j'ai écrit si tu n'y arrives pas je n'ai pas le courage de le taper.

[Anonyme007]

Oui, j'aimerais bien que tu me scannes la démonstration. Merci.

[AncMath]

Désolé de mon écriture illisible.
SemiSimp1 001.jpgSemiSimp2 001.jpg

[AncMath]

On sait que : pour tout adéquate. Il reste à montrer que : .
Par absurde, supposons que :

Il n'en reste pas moins que ce que tu as écrit là témoigne d'une grande confusion. Les groupes de Chow numériques sont des QUOTIENTS des groupes de Chow modulo les autres équivalences admissibles. Ce ne sont pas des sous groupes ni des sous ensembles ni rien de tout de ce tonneau.
Cette phrase

C'est à dire, supposons que , mais que .

est un non sens absolu.

[Anonyme007]

Le sens direct : n'a pas à emmêler les groupes de Chow dans cette histoire. Où vont - ils servir ? Seul d'une définition de qu'on a besoin, et qui passe par la définition des sous groupes . Je vois mal pourquoi tu cherches à me contrarier.
De toute façon, ce n'est pas moi qui dit ça. C'est ce qui est écrit devant moi.
Pour l'autre sens ( sens inverse ) :
Je comprends mal ta méthode. Quelles sont les grandes idées que tu as suivi pour le démontrer, sans entrer dans les détails, parce que tu as écrit les démonstrations de certains lemme, mais c'est mal présenté. Je n'ai pas compris ce que tu as fait.

[AncMath]

Le sens direct : n'a pas à emmêler les groupes de Chow dans cette histoire. Où vont - ils servir ? Seul d'une définition de qu'on a besoin, et qui passe par la définition des sous groupes . Je vois mal pourquoi tu cherches à me contrarier.
De toute façon, ce n'est pas moi qui dit ça. C'est ce qui est écrit devant moi.

Je ne cherche pas à "te contrarier". Je te fais remarquer que ce que tu écris n'a pas de sens. Tu penses d'ailleurs que

On suppose que : mais que : .

ça veut dire quoi ? Qu'as tu voulu dire en écrivant ça ? Si tu as trouvé un livre où il y a écrit ça alors il ne reste qu'une chose à faire : le balancer.
La seule "traduction" que j'en vois c'est supposons que soit un cycle numériquement trivial, et supposons qu'il ne soit pas trivial pour l'équivalence que l'on regarde mais ça n'est pas DU TOUT ce que tu as écrit.

Pour l'autre sens ( sens inverse ) :
Je comprends mal ta méthode. Quelles sont les grandes idées que tu as suivi pour le démontrer, sans entrer dans les détails, parce que tu as écrit les démonstrations de certains lemme, mais c'est mal présenté. Je n'ai pas compris ce que tu as fait.

Ma méthode est très simple : on prouve que l'algèbre des endomorphismes est semi-simple et on montre que les objets simples n'ont pas de morphismes non nuls entre eux sauf s'ils sont isomorphes.
D'ailleurs ça n'est pas "ma méthode". C'est une méthode standard.