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Triangle de Pascal et nombres premiers

  1. Azerus

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    25
    Messages
    4

    Triangle de Pascal et nombres premiers

    Bonjour à tous !

    Aujourd'hui je me suis intéressé au triangle de Pascal.

    J'ai appris que n est premier si et seulement si tous les termes de la ligne de rang n du triangle de Pascal (sauf le premier et le dernier, qui valent toujours 1) sont multiples de n (ce qui m'a surpris étant donné que cette figure est générée uniquement par addition successive).
    De plus j'ai appris que la somme de tout les terme de rang n vaut exactement : .

    La somme des termes de rang n exclus du premier et dernier terme vaut donc : .

    Donc si n est premier, on sait que est divisible par n.

    La question que je me pose, c'est est-ce que la réciproque est vrai ? (A l’exception du contre exemple trivial n=1)
    Si la réciproque est fausse, est-il possible de généraliser sur la forme des entiers respectant cette règle ?

    J'ai essayé de faire un petit programme sur matlab pour vérifier cette conjecture pour les 1000 premiers entiers, mais rapidement matlab procède à des approximations vu la progression exponentiel des termes à manipuler =/

    J'espre que vous avez une idée, ou que vous saurez m'aiguiller.
    Merci pour votre attention !!
    Azerus

    -----

     


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  2. Azerus

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    25
    Messages
    4

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    Ou on peut poser l'affirmation légèrement plus contraignante suivante :

    Si n>2 est premier, on sait que est divisible par n.
    Mêmes questions pour la réciproque.

    Azerus
     

  3. Merlin95

    Date d'inscription
    octobre 2015
    Messages
    438

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    Citation Envoyé par Azerus Voir le message


    La question que je me pose, c'est est-ce que la réciproque est vrai ? (A l’exception du contre exemple trivial n=1)
    Non n peut diviser , sans être premier, on trouve la terminologie pseudo-premier pour de tel nombre (le plus petit pour la base 2 est 341).
    Dernière modification par Merlin95 ; 16/07/2017 à 01h04.
     

  4. Azerus

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    25
    Messages
    4

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    Merci Merlin pour ta réponse

    Je pense qu'on peut clore le sujet.

    Bonne soirée !
    Azerus
    Dernière modification par Azerus ; 16/07/2017 à 01h16.
     

  5. iharmed

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    641

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    Citation Envoyé par Azerus Voir le message
    Donc si n est premier, on sait que est divisible par n.
    2^n - 2 n’est divisible que par 2 ???
    Revoir formulation
     


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  6. Dynamix

    Date d'inscription
    août 2014
    Messages
    9 732

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    Salut

    Citation Envoyé par Azerus Voir le message
    cette figure est générée uniquement par addition successive
    Pas uniquement .
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Combin...C3%A9matiques)

    Pour le reste voir les nombres de Mersenne
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 268

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    @Iharmed:
    pour n=5 2^5-2=30 divisible par 2,5 et 3......

    sinon, je ne vois pas directement le rapport avec les nb de Mersenne de la forme 2^n-1
    Cdt. ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. Azerus

    Date d'inscription
    juillet 2017
    Âge
    25
    Messages
    4

    Re : Triangle de Pascal et nombres premiers

    @iharmed
    n'est évidemment divisible que par 2, en revanche la formule que j'ai posé respecte bien la propriété énnoncé (mais pas la réciproque, voir le message de Merlin), d'ailleur je viens de voir que cette méthode est même utilisé comme test de primallité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Test_d...3%A9_de_Fermat

    @Dynamix
    Les nombres premiers de Mersenne ne sont pas lié avec à la propriété que j'ai énoncé. La formule que j'ai posé ne donne pas de nombre premier, elle est utile uniquement pour tester la primalité d'un nombre n.
     


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