Π(1+k/n)

[johndoex3x]

Bonjour
j'avance à tous petits pas.... reprendre après 30 ans c'est quasi mission impossible mais je m'accroche pendant que la famille est à la plage
J'ai la suite u=Π(1+k/n) dont il faut que j'étudie la convergence
On me propose deux démarches:
solution 1-utiliser n=2p et on arrive à u>racine(3/2)^n d'où la divergence vers +infini
là je cale complètement je ne comprends pas
solution 2-montrer par récurrence u>1+1/n+2/n+3/n+......+k/n+....n/n
là je n'y arrive pas
à force de tourner dans tous les sens, je suis parti là dessus et j'aimerai votre avis car je n'ose croire que j'ai trouvé une troisième voie sans faire d'erreur plus grosse que moi:

soit la suite v=ln(u) v est bien définie. de plus, comme la fonction ln(x) est inférieure à x quelque soit x alors u>v pour tout n
si u=Π(1+k/n) alors v:ln(Π(1+k/n))=∑ln(1+k/n)
ensuite je pose k>1
d'où ln(1+k/n)>ln(1/n+1)
et finalement lorsque l'on somme :
∑ln(1+k/n)>n*ln(1/n+1)
ainsi v>ln(1/n+1)^n
u=exp(v) donc u>(1/n+1)^n
n>0, 1/n+1>1donc la suite diverge vers + l'infini


je m'en remets à vous avec anxiété ! si j'ai fait une grosse bourde, merci d'être indulgents et éventuellement de me réaiguiller vers la solution 2 qui me semble le plus à ma portée pour l'instant
Merci
Pascal
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[ansset]

bonjour,
avant toute remarque.
ta suite u=Π(1+k/n) fait apparaître un produit, et par la suite tu ne parles que de sommes ?
par ailleurs doit on lire (1+k)/n ou 1+(k/n) ?
merci par avance pour tes précisions.
Cdt

[gg0]

Bonjour johndoex3x.

Il serait peut-être mieux de définir correctement ta suite : "u=Π(1+k/n)" n'a pas de sens, on ne sait pas sur quoi porte le produit ni ce que sont k et n.
Soit tu utilises le LaTeX, utilisable avec la balise Tex, soit tu utilises au moins des indices avec la bascule x₂, tu trouveras ça en faisant "répondre".

Cordialement.

[NicoTial]

Bonjour,

Dans ta démonstration, je ne vois qu'une erreur...c'est au niveau de la conclusion : u>(1+1/n)^n donc u diverge : ceci est faux car (1+1/n)^n converge vers e (pour le voir met cette expression sous la forme exponentielle...).
Pour la deuxième solution (celle concernant la récurrence) : écris u=(1+1/n)...(1+k/n)...(1+n/n) et développe une partie du produit de façon intéressante ( ne t'amuse surtout pas à tout développer !! ).

En restant à disposition
NicoTial

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

u=exp(v) donc u>(1/n+1)^n
n>0, 1/n+1>1donc la suite diverge vers + l'infini

Cela est incorrect, cela converge vers e. (Plus généralement (1+x/n)^n converge vers e^x, cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_exponentielle)

[johndoex3x]

re,
merci
j'étais content de moi et je me rends compte à travers vos réponses que j'ai fait la même erreur qu'il y a quelques temps.grrr

gg0 :j'ai bien compris que c'était mal écrit mais je ne savais pas faire autrement. je vais regarder ce que tu m'indiques pour la prochaine fois

NicoTial: merci pour l'info mais j'ai essayé et je n'y arrive pas. J'y retourne ....

Désolé pour ma conclusion erronée...j'ai des progrès à faire !!!
Pascal

[gg0]

Ce n'est pas seulement mal écrit, c''est sans signification !! Autrement dit, tu ne comprends même pas ce que tu écris !! Tu sembles confondre la suite (u) avec son terme général d'indice ... je ne sais pas , n ? k? Et un produit sans indication d'indice !!

Cordialement.

[NicoTial]

L'idée c'est de uniquement s'intéresser au produit de (n-1) fois 1 et de k/n : par exemple :
u=(1+1/n)...(1+k/n)...(1+n/n)= 1(provenant du produit de tout les 1 entre eux) + 1/n( produit de 1/n avec n-1 fois le nombre 1 des autres parenthèses) +... +n/n +R avec R tout les autres produits... R est positif strictement (somme de termes positifs) et donc u = 1+...+n/n + R d'où tu conclus...

Cdt
NicoTial

[gg0]

Donc une écriture correcte est "u est la suite définie pour tout entier par u_n=Π_k=1...n(1+k/n)"
Ou encore, avec LaTex :


La preuve avec la récurrence ne semble pas poser de problème, k et n étant positifs. Ta méthode avec les ln est plus délicate, car on a ln(1+k/n)<k/n alors qu'il faudrait le contraire. Mais on peut prouver que sur [0;1], x/2<= ln(x), ce qui permet de de ramener à la somme des k/n.

Cordialement.

NB : Ta somme a n termes, pas n-1.

[johndoex3x]

Merci beaucoup NicoTial
Je suis un peu démoralisé car je n'ai pas ces réflexes là. .... j espère que ça va revenir. ..en tout cas avec ton gros coup de pouce c'est fait. Merci. Je passe au suivant
Pascal

[ansset]

bjr,
avec la formule de Stirling, on peut même trouver un équivalent.




en prenant equiv à
on arrive à un équivalent du produit total ( après simplification )
equiv à
donc qui tend vers +l'inf ( 4>e )

ps: j'ai écrit cela pour le fun, sachant qu'il n'est pas nécessaire de connaître et d'utiliser cette formule pour montrer la divergence.
voir certains mess précédents. !

[johndoex3x]

pour gg0

Merci de ton aide et de ta grande gentillesse.
Je me demande en lisant ta dernière réponse s'il y a de la place pour les débutants
"Ce n'est pas seulement mal écrit, c'est sans signification !! Autrement dit, tu ne comprends même pas ce que tu écris !!
"
Je me remets aux mathématiques après 30 ans, c'est déjà difficile et effectivement je ne maitrise pas la mise en page des symboles mathématiques.J'ai tout de même, malgré ma mauvaise maîtrise reçu des infos de gens très courtois et compréhensifs qui ont très bien compris ce que je voulais dire.
J'ai très bien compris la différence et je suis conscient de l'aspect bancale de ma demande c'est juste que pour l'instant je ne maîtrise pas la mise en page. J'aurais apprécié un peu plus de bienveillance.... mais j'ai manifestement affaire à un puriste.
Cordialement
Pascal

[gg0]

Désolé si je t'ai choqué, mais j'ai l'habitude de dire franchement ce qui est. Tu semblais ne pas accorder d'importance à ma première remarque, j'ai donc insisté lourdement : Les maths se vérifient en utilisant un ensemble de symboles (formalisme) qui ne permettent pas de jouer sur les mots ou les symboles. C'est important de bien comprendre l'usage des notations, la différence entre u et u_n, par exemple. Ou l'usage des parenthèses (comme on le voit trop souvent sur les forums - toi, tu n'es pas concerné).
Enfin, je disais ça pour toi, pour que tu progresses. Sans acrimonie particulière, juste une insistance.

Cordialement.

[ansset]

@NicoTial,
en relisant, je ne suis pas sur de comprendre ton post #8
car n'est pas supérieur à n ( si c'est le sens de ta démo ) pour tout n, cela ne devient vrai qu' à partir d'un certain rang.

[ansset]

désolé, correction trop tardive. mea culpa !

[NicoTial]

@ansset
Je n'arrive pas à comprendre où est ce que tu vois que est supérieur à n. Ce que j'écris c'est :
= avec R positif et là je conclus.

[ansset]

OKI,
j'avais mal lu !

[johndoex3x]

bonsoir

gg0 autant pour moi j'ai probablement réagi un peu vite aussi
J'ai trouvé ta remarque un peu brute mais c'est vrai que quand je vois du langage sms et des fautes d'orthographes dans les posts ça me fait bondir aussi alors vu sous cet angle ma formule était effectivement incorrecte
Je n'avais pas pris ton premier post à la légère c'est juste que je ne me suis pas du tout penché sur la question pour le moment. Là j'essaie de faire mon premier de voir et j'en bave.C'est un cours du cned qui est sensé partir de la term en prérequis or il y beaucoup de choses qui sont nécessaires et que l'on ne voit pas en term; alors je dois raccrocher les wagons et ce n'est pas facile. Je pense que je serai plus serein si j'arrive à terminer ce premier devoir.
Donc merci de m'imposer de la rigueur même si la forme est un peu sèche, je vais m'efforcer de me pencher sur la question.
Pascal
u_n=Π((1+k)/n) pour k allant de 1 à n, n∈ c'est déjà un peu mieux non?

[gg0]

Oui, c'est tout à fait clair.

Bon courage !