Variance d'un échantillon calculé à partir d'un autre

[miclet]

J'ai le problème suivant, pour un travail de recherche :

Soit un sous-ensemble fini ${\cal S}$ de $\mathbb{R}^d$, de cardinal $n$. On calcule $AE({\cal S})$ de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item Initialisation à l'ensemble vide
\item Pour chaque triplet $(a,b,c)$ ($a$, $b$ et $c$ ne sont pas nécessairement différents) de ${\cal S}$, ajouter $a+b-c$ à $AE({\cal S})$.
\end{itemize}
Au total, $AE({\cal S})$ compte $n^3$ points, dont certains sont superposés (mais ça n'a pas d'importance).

Par simulation, quelque soit la façon de tirer ${\cal S}$, je trouve que la matrice de covariance de $AE({\cal S})$ vaut 3 fois celle de ${\cal S}$.
Je suppose que ça a à voir avec le fait que la variance de $2X$ vaut quatre fois celle de $X$, pour $X$ variable aléatoire. Mais je ne vois pas la démonstration rigoureuse.

Quelqu'un peut-il me la donner ?

Merci d'avance,

lm
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[gg0]

Bonjour.

Ton texte est difficilement lisible, mais comme tu as posé des questions très proches sur un autre forum où on utilise $ pour insérer du LaTeX, j'ai reconnu.
Pourquoi n'y as-tu pas posé cette question ? D'autant qu'elle est simple. Il te suffit d'appliquer la formule de calcul de la variance. C'est immédiat.

Cordialement.

[miclet]

Merci, gg0.
Mais ça n'est pas (hélas) immédiat pour moi.
J'ai essayé en prenant le cg comme origine, mais je me suis perdu dans la somme des $n^3$ carrés.
Vois-tu comment le calcul s'organise ?
J'avais en effet posé une question similaire sur lesmathématiques.net et j'ai eu une réponse qui disais, en gros, que $var(2X)=4var(X)$... et alors ?

Merci d'avance,

lm

[gg0]

C'est pourtant un calcul élémentaire, si tu multiplies les valeurs par 2, ça multiplie la moyenne par 2, donc les écarts à la moyenne par 2 (car 2x-2m=2(x-m) ..), donc comme on élève au carré, les carrés sont multipliés par 4, et leur somme aussi.

Prends un bouquin pour débutants, ça sera écrit pour un multiplicateur quelconque.

A moins que ta question ne porte pas sur ça. Mais alors, comme tu as eu des explications ailleurs, ce n'est pas très sérieux de venir ici !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[miclet]

gg0,
Je crois qu'il y a un malentendu...
Je suis d'accord que $var(2X)=4var(X)$, là dessus, pas de problème... heureusement !
Je suis aussi d'accord que $var(X+Y-Z)=3var(X)$ si $X$, $Y$ et $Z$ sont indépendantes, de même moyenne et de même variance.
Ce que je ne vois pas, c'est en quoi ces formules répondent à mon problème.

Merci

lm