Polynome minimal dans Mn(R)

[kizakoo]

Bonjour, je bute un petit peu sur un exo portant sur la réduction des endomorphismes. Voici la question: Existe-t-il dans
Mn⁢(R) une matrice de polynôme minimal X²+1 ?
Voici à quoi j'ai réfléchis:
Soit A dans Mn(R) et supposons qu'elle ait pour polynome minimal X²+1.
on a X²+1= (X-i)(X+i) et on sait que les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres de la matrice A donc i est valeur propre de A c-a-d il existe Y non nul de Mn,1(R) tel que AY=iY . par égalité des lignes de ces deux matrices on trouve que des coefficients réels (ceux de la matrice AY) sont égaux à ceux de la matrice iY (des imaginaires purs) ===> les coefficients de la matrice Y sont tous nuls d'où la nullité de Y ce qui est absurde.

Dans la correction, on a trouvé effectivement une matrice à coefficients réels ayant ce polynôme minimal .... où ai-je commis la faute?

Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plait. Aussi, j'ai une question portant sur le corps des matrices : lorsqu'on considère une matrice de Mn(R) est-ce que peut-on parler de valeurs propres "complexes" de cette matrice ?

Merci
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[Kairn]

Bonsoir !

Il me semble que le problème vient du fait que si tu considère la valeur propre complexe i, alors le vecteur propre associé Y est lui aussi complexe a priori. Donc les coefficients de AY ne sont as forcément réels, et ceux de iY ne sont pas forcément des imaginaires purs. J'en profite pour répondre partiellement à ta seconde question (je ne sais pas quel niveau de réponse tu attends) : oui, on peut parler des valeurs propres complexes d'une matrice réelle. Quand une matrice n'est pas diagonalisable dans R, on peut essayer de la diagonaliser dans C, par exemple.

Je reviens à ton problème initial. On a le polynôme minimal . Tu sais que, donc . Tu peux commencer par raisonner en dimension 2. Ta matrice A se comporte comme le nombre i. On peut associer une matrice réelle 2x2 à un nombre complexe z=a+ib ; sais-tu comment ? Ça va te donner une matrice réelle de taille 2x2 dont le poly minimal est !

A partir de la dimension 2 il me semble que tu peux passer assez facilement aux dimensions paires. Pour les impairs, comme ça je ne sais pas ^^