bonjour,
on considère que dans l'ensemble infini des nombres entiers, les chiffres pairs représentent 50% de l'ensemble.
Mais si on prend l'ensemble des nombres décimaux, dont les chiffres après la décimale sont par exemple: .123456789.
Est ce qu'on peut en déterminer la proportion par rapport à l'ensemble infini des nombres réels?
MErci pour votre explication.
Youri
Bonjour.
Comme dans toutes les questions touchant à l'infini, il faut faire attention, car c'est trompeur. Au moins deux pistes sont envisageables : Se ramener à des ensembles finis, et passer à la limite, ou bien utiliser une notion de mesure (théorie de la mesure), si possible uniforme.
Ici, je vais utiliser les deux idées, car avec une mesure uniforme sur R, on retombe sur une mesure totale infinie. Prenons d'abord sur un seul intervalle, que je choisis de longueur 1 : les nombres compris entre 0 et 1 s'écrivent 0,abcd ... où a, b, c, d, ... sont des chiffres. Ceux qui commencent par 0,123456789 sont dans l'intervalle [ 0,123456789 , 0,123456790[, de longueur 0,00000001 = 10^(-8). Donc la proportion est aussi 10^(-8). Sur chaque intervalle [n, n+1[, où n est un entier relatif, on va avoir la même proportion, ce qui fait que sur R, la proportion sera encore 10^(-8).
Cette preuve est critiquable, car je n'ai pris que certains intervalles. On pourrait la rendre inattaquable, en calculant la proportion sur un intervalle [a,b[ quelconque, et en montrant que la proportion (qui n'est plus exactement 10^(-8) sauf cas très particulier) tend vers 10^(-8) lorsque a tend vers -oo et b vers +oo indépendamment.
Cordialement.
Bonjour
Pour compléter le poste de gg0, il existe une demi douzaine (au moins) de notions de densité sur les entiers, une particulièrement intéressante (à mon gout) est la densité de Schnirelmann
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Attention, la densité de Schnirelmann n'est pas la densité d'une mesure sur (N,P(N)). Je ne pense pas qu'elle soit la densité d'une mesure sur (P(N),P(P(N))) mais j'ai un doute.
Effectivement, mais ce n'est pas ce que je suggérais.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
