Petites questions naïves sur le hasard et l'infini

[donnalee]

Q1 :

Soit k un entier naturel.
Soit n un entier choisi au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quelle est la probabilité de (n > k) ?

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

Q2 :

Soit n1 et n2 deux entiers choisis au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quel est la probabilité de (n1 > n2) ?

Je dirais ½, par simple symétrie du problème.

Si on est d’accord avec Q1:1 et Q2:½, alors dire « soit n un entier naturel » et « soit n un entier choisi au hasard parmi les entiers naturels » est fondamentalement différent. Mais en quoi ?

Est-il vraiment impossible de choisir un entier k pour que la probabilité de (n > k) de la question Q1 soit 1/2 ? Il n’y a qu’a le choisir au hasard non ?

Q1:1 C’est comme si choisir un entier au hasard c’est avoir de très forte chance d’hériter d’un entier infini. On me dira qu’il n’y a pas d’entier infini. Oui mais en choisir un au hasard le rend probablement beaucoup plus grand que n’importe quel entier existant. Bizarre, bizarre.

Q1:1 et Q2:½ est-ce un paradoxe ? un problème de définition ?
Ou est-ce que choisir un entier au hasard n’a pas de sens ? Peut-on concevoir une méthode, un algorithme pour choisir un entier naturel au hasard, dans un temps fini ? (Même si bien sûr il serait impossible de sortir concrètement le résultat).

Remarque : Si choisir un entier au hasard n’a pas de sens, il n’empêche que la réponse à la question Q2 est 1/2. L’addition de deux non-sens donne un résultat démontrable. Bizarre, bizarre.

Merci pour vos réponses éclairées.
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[Médiat]

Bonjour, (La courtoisie n'est pas optionnelle sur ce site)

Q1 :

Soit k un entier naturel.
Soit n un entier choisi au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quelle est la probabilité de (n > k) ?

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

Ceci est correct (en terme de mesure par exemple), néanmoins j'attire votre attention sur la difficulté (pour dire le moins) à créer un processus expérimental pour "choisir un entier au hasard"

Q2 :

Soit n1 et n2 deux entiers choisis au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quel est la probabilité de (n1 > n2) ?

Je dirais ½, par simple symétrie du problème.

Correct aussi

Si on est d’accord avec Q1:1 et Q2:½, alors dire « soit n un entier naturel » et « soit n un entier choisi au hasard parmi les entiers naturels » est fondamentalement différent. Mais en quoi ?

Je ne comprends pas votre point!

Est-il vraiment impossible de choisir un entier k pour que la probabilité de (n > k) de la question Q1 soit 1/2 ? Il n’y a qu’a le choisir au hasard non ?

cf. ma première réponse

Q1:1 C’est comme si choisir un entier au hasard c’est avoir de très forte chance d’hériter d’un entier infini. On me dira qu’il n’y a pas d’entier infini. Oui mais en choisir un au hasard le rend probablement beaucoup plus grand que n’importe quel entier existant. Bizarre, bizarre.

Mauvaise interprétation, plus grand qu'un entier donné ne veut pas dire aussi grand que l'on veut.

Q1:1 et Q2:½ est-ce un paradoxe ? un problème de définition ?

Non, pas de paradoxe

Ou est-ce que choisir un entier au hasard n’a pas de sens ? Peut-on concevoir une méthode, un algorithme pour choisir un entier naturel au hasard, dans un temps fini ? (Même si bien sûr il serait impossible de sortir concrètement le résultat).

Remarque : Si choisir un entier au hasard n’a pas de sens, il n’empêche que la réponse à la question Q2 est 1/2. L’addition de deux non-sens donne un résultat démontrable. Bizarre, bizarre.

cf. ma première réponse

[Amanuensis]

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

Non, pas nécessairement.

Cela dépend de la définition précise choisie pour «tirer un entier au hasard».

[masterclassic]

Bonsoir.

Q1 :

Soit k un entier naturel.
Soit n un entier choisi au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quelle est la probabilité de (n > k) ?

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

De ma part, je dirais que cette probabilité *tend* à 1. L'intérvalle [0,k] sera dans tous les cas un ensemble fini, contairement à ]k, ∞[ .

Je voudrais quand même signaler une antinomie (tout au moins au niveau d'expression verbale) entre "choisir" et "au hasard".

Q2 :
Soit n1 et n2 deux entiers choisis au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quel est la probabilité de (n1 > n2) ?

Je dirais ½, par simple symétrie du problème.

Je dirais que la probabilité tend vers 1/2, mais comme il y a aussi le cas n1 = n2 (peu probable certes mais pas exclu) la probabilité ne pourrait pas être mathématiquement égale à 1/2.

Si on est d’accord avec Q1:1 et Q2:½, alors dire « soit n un entier naturel » et « soit n un entier choisi au hasard parmi les entiers naturels » est fondamentalement différent. Mais en quoi ?

Je pense que c'est une question d'expression de langue. On utilise souvent l'expression «soit n un entier naturel» dans le cadre de la démonstration d'un théorème, pas exemple, qui serait valable pour tout entier naturel, donc pour chacun d'eaux. Un théorème valable pour chacun des entiers est valable pour n'importe quel entier pris "au hasard". Je trouve qu'il y aurait une différence mathématique si dans la première expression on imposait quelque restriction aux critères de selection (par exemple une intervale finie).

[A voir en vidéo sur Futura]

[erik]

il y a aussi le cas n1 = n2 (peu probable certes mais pas exclu)

La probabilité que n1=n2 est nulle, oui je sais c'est contre intuitif mais c'est le cas.
En fait la probabilité de tirer au hasard un nombre donné à l'avance dans l'ensemble des entiers naturels est nulle (cela vient du fait qu il y a une infinité de nombres naturels).

[Noress]

Bonsoir,

Q1 :

Soit k un entier naturel.
Soit n un entier choisi au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quelle est la probabilité de (n > k) ?

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

Pour un événement certain j'aurais pris la précaution de k=0 et c'est donc une bêtise (de ma part).
Cdt

[gg0]

Donnalee :

Si on est d’accord avec Q1:1 et Q2:½, alors dire « soit n un entier naturel » et « soit n un entier choisi au hasard parmi les entiers naturels » est fondamentalement différent.

Quand, comme ici, c'est dans des situations différentes, oui. Tout simplement parce que le premier n n'est pas pris au hasard.

N'importe comment, tes questions n'ont pas vraiment de sens tant que tu ne définis pas "prendre un entier n au hasard" et, ce qui est encore plus délicat, "prendre deux entiers n2 et n1 au hasard". Sachant que le deuxième cas n'est pas prendre un premier nombre n2 au hasard, puis prendre un deuxième nombre n1 au hasard, car dans ce cas, la "probabilité" (*) intuitive est encore 1, pas 1/2 (il n'y a plus symétrie).

Cordialement.

(*) j'ai mis des guillemets, car sans une définition de ta part, il n'y a pas de probabilité. D'ailleurs Médiat a bien dit qu'il parlait de théorie de la mesure pour donner un sens (qui n'est sans doute pas vraiment ce que tu as en tête)

[Amanuensis]

Sachant que le deuxième cas n'est pas prendre un premier nombre n2 au hasard, puis prendre un deuxième nombre n1 au hasard, car dans ce cas, la "probabilité" (*) intuitive est encore 1, pas 1/2 (il n'y a plus symétrie).

??? Aucune raison d'imposer un ordre ou une dépendance.

Si «tirer un nombre entier au hasard» est défini et appliqué pareillement (même loi) aux deux tirages et que ces tirages sont indépendants, alors par symétrie la proba recherchée (probabilité que le premier soit plus grand que le second) est bien 1/2. Ce résultat peut être obtenu sans plus de précision sur «tirer au hasard».

L'indépendance des tirages est plus «intuitive» que la dépendance (l'indépendance est tacite dans la quasi-totalité des usages imprécis de «tirer au hasard», et peut-être bien 100% des usages scolaires de cette expression).

[Amanuensis]

PS: Le raisonnement fait en appliquant p(n2>k) conditionnellement au tirage de n1 puis en posant k=n1, ne donnerait 1 que si la réponse à Q1 était 1. (Et encore... la proba recherchée est la somme des probas conditionnelles, somme infinie posant quelques problèmes.)

Il est plus économique de dire que la réponse à Q1 n'est pas 1 (donc de n'accepter que des définitions de «tirer au hasard» telles que la réponse de Q1 n'est pas 1), et d'accepter la réponse 1/2 à Q2, qui est non seulement intuitive, mais prouvable à partir de l'hypothèse d'indépendance et de mêmes lois, en invoquant la symétrie.

[minushabens]

Q1 :

Soit k un entier naturel.
Soit n un entier choisi au hasard dans l’ensemble des entiers naturels.
Quelle est la probabilité de (n > k) ?

Je dirais : 1. Quelque soit k (aussi grand soit-il) il est infiniment plus probable d’avoir n dans l’intervalle ]k, ∞[ que dans l’intervalle [0,k]

ça n'est vrai que si tu choisis sur N une mesure de probabilité P telle que P([0,k])=0. Or dès que k>0 aucune des probabilités usuelles (géométrique, Poisson, etc) ne vérifie cette propriété.

[gg0]

Ammanuensis :

"??? Aucune raison d'imposer un ordre ou une dépendance." Pourtant, s'il y a un ordre de tirage, il est impossible de tirer équitablement et uniformément (intuitif), car une fois le premier tirage fait, la probabilité que le deuxième soit supérieur, connaissant le premier, est 1.

mais tout ça ne fait que manifester le non sens de ce "tirage d'un nombre entier au hasard". On ne peut pas appliquer à une infinité de cas notre habitude des cas finis (discrets ou continus) comme tu le fais : "Si «tirer un nombre entier au hasard» est défini et appliqué pareillement (même loi) aux deux tirages et que ces tirages sont indépendants, alors par symétrie la proba recherchée (probabilité que le premier soit plus grand que le second) " D'ailleurs, tu romps toi-même la symétrie en parlant de premier et de second.

je me demande s'il est utile de traiter de ces "fausses mathématiques" dans les forums, les problèmes mal posés sont source de polémiques stériles.

Cordialement.

NB : Dans ce messages, je n'ai utilisé que des intuitions mal réglées sur la signification de "au hasard". Ce n'est pas des maths.

[Amanuensis]

mais tout ça ne fait que manifester le non sens de ce "tirage d'un nombre entier au hasard".

Non, pas du tout.

Cette remarque ne fait que manifester une vision trop étroite de «tirer un nombre entier au hasard». Un peu étonnant de la part de l'auteur, à mettre au passif de l'usage commun fait de cette expression dans les exercices scolaires niveau pré-bac.

On ne peut pas appliquer à une infinité de cas notre habitude des cas finis (discrets ou continus) comme tu le fais

Soit incompréhension de mes écrits (ou du sujet même!), soit sophisme de l'épouvantail.

les problèmes mal posés sont source de polémiques stériles.

Jolie rhétorique une fois de plus, qui ne m'encourage ni à m'expliquer, ni à continuer. Rien de neuf d'ailleurs...

des intuitions mal réglées sur la signification de "au hasard". Ce n'est pas des maths.

Bizarre encore. Pourquoi ne pas développer les maths, alors?

[Médiat]

Bonjour,

La tournure de ce dernier post l'impose : on ferme !

Médiat