(Problème exo)Trouver une limite : pile ou face ?

[GlucoMister]

Bonjour à tous, avant tout, il ne s'agit pas de probabilités, le titre est un peu trompeur.
C'est juste que je me pose certaines questions sur la détermination de limites de certaines fonctions. En effet, j'ai bien l'impression qu'il n'y a pas vraiment de "méthode", qu'il faut en fait sentir les choses plusieurs coups à l'avance, un peu comme aux échecs. Je m'explique.

Je m'efforce de déterminer cette limite :
Bon là il y a une forme indéterminée car on a "0/0" et donc il faut la lever, tout le problème est là...

J'ai déjà essayé plusieurs choses et à chaque fois j'aboutis à un cul-de-sac :

Avec le taux d'accroissement du cosinus :




on a


et

encore une forme indéterminée avec donc...



les autres méthodes que j'ai trouvées sont nulles aussi et je n'aboutis à rien d'intéressant.
J'ai l'impression que pour lever les formes indéterminées c'est plus une affaire d'avoir le "feeling" qu'autre chose, non ?

J'espère que vous pourrez m'aider à lever le voile que constitue cette forme indéterminée. En attendant, merci.
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[gg0]

Bonjour.

Avant le bac, ce genre de limite nécessite quelques idées. Après, avec les développements limités, on a un outil très efficace, même s'il ne suffit pas tout à fait. Mais il faut reconnaître que le calcul demande pas mal de connaissances et de finesse (je parle des exercices, car un calcul à priori n'a que très peu de chances de donner un résultat (genre factoriser x^5-4x^4+12x^3-pi x²+2).

Ici, on a des x et une fonction trigo. A priori, en lycée on ne connaît qu'un seul lien entre sin(x) et x. D'où lidée de faire apparaître un sinus là où il y a un cos. Une des formules qui le permet a aussi l'avantage de faire disparaître le 1, c'est la formule de l'angle double : cos(x)=1-2sin²(x/2). On remplace et miracle ! c'est bon. Tu peux faire le changement de variable x/2=t avec t qui tend vers 0.

Cordialement.

[GlucoMister]

Si je ne m'abuse, le problème demeure, non ? Car de fait, en utilisant la formule on se retrouve avec -2sin(x/2)^2 au numérateur qui tend donc toujours vers 0 quand x tend vers 0. Pareil pour le dénominateur qui n'a pas changé.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Voir le sinus cardinal pour te dépatouiller

Cordialement,
Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonsoir
Oui mais je continue travail de GG0: à un facteur près on a .....avec t->0. Et on s'est bien ramené à utiliser une situation connue....i.equand t tend vers 0.

[gg0]

Finalement, j'aurais peut-être dû être plus précis en évoquant la seule limite qui mélange les sinus et les monômes :


Cordialement.