Bonsoir,
J' aimerais savoir s' il existe des liens intéressants entre les carrés magiques et les propriétés (déterminants, matrices inverses... ) des matrices qui les "représentent".
Autrement, j' aimerais aussi savoir s' il on peut parler de matrices "cubiques" voire "sphériques".
Merci par avance
Tiens intéressant...
Facile à voir :
Prenons 2 carrés magiques différents: A = {{2, 7, 6}, {9, 5, 1}, {4, 3, 8}} et B = {{5, 12, 10}, {14, 9, 4}, {8, 6, 13}}
det A = 2*(40-3) - 7*(72-4) + 6*(27-20) ~ 2*7*5 - 7*68 + 6*7 = 7*(10 - 68 + 6) < 0 (=-360)
det B = 5*(107-24) - 12*(182-32) + 10*(84-72) ~ 5*(7*12) - 12*150 + 10*12 = 12*(35 - 150 + 10) < 0 (=-1215)
inverse de A = ceci, qui est un carré magique de somme 24/360(360 est le déterminant en valeur absolue)
inverse de B = ceci, qui est un carré magique de somme 15/405
Une matrice cubique? oui, même à N dimensions, on appelle ça un tenseur.
Mais une matrice sphérique????
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 11/08/2017 à 21h51.
Au passage, vous connaissez le "Paker square"?
Au passage du passage, il y a un prix de 1000€ pour le premier qui trouve un carré magique 3x3 dont les entrées sont toutes des carrés d'entiers différents
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 11/08/2017 à 21h58.
En regardant d'un peu plus près les résultats (plus bas dans la page), on peut postuler que l'inverse de la matrice M d'un carré magique est un carré magique de somme S.
où, où
Ou un truc qui s'en rapproche...(je l'ai fait mentalement, j'ai la flemme ^^)
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 11/08/2017 à 22h12.
D' accord, merci pour votre travail, c' est intéressant
Ce qui serait intéressant, c'est de démontrer tout ça ^^
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 11/08/2017 à 22h16.
Salut !
Ça me parait étrange.Envoyé par geometrodynamics_of_QFT
où
Dans le cas de A = {{2, 7, 6}, {9, 5, 1}, {4, 3, 8}}, A est diagonalisable (c'est notre ami qui le dit : https://www.wolframalpha.com/input/?...B4,+3,+8%7D%7D). Si tu parles des valeurs propres de A, alors la formule pour S donne S=-1, ce qui est différent de 24/360. Si tu parles des valeurs propre de inv(A), alors la formule donne S=-det(A)².
En effet, je dirais plutôt que la somme S' (ou la trace) de l'inverse de la matrice M du carré magique de somme (ou de trace) S est donnée par:
Autrement dit,
C'est bon là non?
Si ce résultat est correct, est-ce un résultat général pour toute matrice carrée inversible, ou un résultat propre aux carrés magiques?
(Et est-il prouvé que la matrice associée à tout carré magique est inversible?)
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 12/08/2017 à 11h51.
Salut !
Si tu proposes des formules tu peux les tester sur des exemples pour voir si ça colle ou pas. En l'occurrence, en reprenant A = {{2, 7, 6}, {9, 5, 1}, {4, 3, 8}}, on a dit que A est diagonalisable et
Je ne sais pas si c'est correct, je ne sais pas ce qu'on a prouvé sur les matrices de carrés magiques ^^ La formule (au signe près) est peut-être correcte pour les carrés magiques (elle fonctionne pour les exemples A et B du post #2), mais elle n'est pas vrai en général. Par exemple,
On peut même simplifier ta formule (et corriger le signe). Puisque
J'ai pu trouver ici que
a) Soit A une matrice symétrique définie positive
Ce n'est pas le cas pour un carré magique (non-symétrique)
b) Donc il existe une matrice diagonale D telle que A = PDP^(-1) ==> A^(-1)A = I = A^(-1)PDP^(-1) ==> P = A^(-1)PDI etc...
c) Donc A^(-1) = P^(-1)D^(-1)P, et donc Tr(A^(-1)) = Tr(D^(-1))
d) Comme D est une matrice diagonale, les entrées diagonales de D^(-1) sont les réciproques des entrées de D.
Donc Tr(A^(-1)) = \sum_i 1/A_ii...
Sur quoi te bases-tu pour affirmer que la matrice M d'un carré magique est diagonalisable?
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 12/08/2017 à 13h16.
Mon message précédent en plus lisible:
a) Soit
Ce n'est pas le cas pour un carré magique (non-symétrique)
b) Donc il existe une matrice diagonale
c) Donc
d) Comme
Donc
(j'ai pas très bien compris la déduction du point c), mais je leur fait confiance ^^)
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 12/08/2017 à 13h26.
C'est ce que j'ai évidemment fait avant de corriger la formule initiale...quand je dis "c'est bon là?", c'est pour demander une vérification par un pair
Mais content de voir qu'on aboutit à la même conclusion
Donc on a bien tr(M^(-1)) = 1/1 + 1/2 = 1/M_11 + 1/M_22, comme dans le résultat pour une matrice symétrique définie positive du message #12...
Oui à fondcar ça donnerait une équation de plus aux 7 équations de départ pour trouver un carré magique composé de carrés d'entiers...du coup, comme il y a 9 inconnues, ça réduirait l'indétermination d'une double infinité à une simple infinité!
En terme algorithmique, on gagnerait un facteur vitesse...en passant de O(whatever) à O(racine de whatever) (intuitivement sans trop réfléchir...)
Bon donc on en est là :
Est-ce que, pour toute matrice M associée à un carré magique,
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 12/08/2017 à 14h03.
(et pas uniquement pour les deux exemples étudiés...)
Et donc préalablement à cette question :
Est-ce que le déterminant de la matrice associée à un carré magique est toujours non-nul?
J'imagine que c'est trivial :
La matrice est de rang maximal...donc elle est inversible?
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 12/08/2017 à 14h33.
Bonjour,
Peut-être que Maharishi, à travers "sphérique" cherche à désigner des cubes magiques où en plus du volume on tiendrait compte de l'espace intérieur du cube ne contenant que des carrés magiques.
Mais je ne sais pas si l'on est aussi dans le cadre des tenseurs.
Cordialement.
Bonjour,
Ce que je souhaitais savoir c' est si l' on pouvait parler de matrices sous forme d' une sphère composée éventuellement de matrices cubiques "tronquées" qui formeraient des pyramides infiniment petites dont les "pointes" constitueraient la surface de cette dite sphère (c' est peut être confus désolé)
elle découle du fait que Tr(AB)=Tr(BA)
sinon l'inverse d'un carré magique n'est évidemment pas un carré magique (en général, mais je pense jamais)
ce sont en tout cas des carrés magiques de sommes rationelles (quotient d'entiers)...voir les 2 exemples dans le message #2
un carré magique étant constitué d'entiers tes exemples n'en sont pas. Tu devrais peut-être commencer par étudier les matrices en nombres entiers, et voir quelles sont celles dont l'inverse est aussi en nombres entiers.
Personne ne peut en tout cas m'empêcher de définir la notion de "carré magique rationnel", où chaque élément est un nombre rationnel, et chaque ligne, colonne et diagonale fournit la même somme rationnelle.
C'est le cas qui se présente ici.
Mais je suis d'accord avec toi, techniquement la matrice inverse d'une matrice associée à un carré magique ne représente effectivement pas un carré magique au sens usuel.
Dernière modification par geometrodynamics_of_QFT ; 13/08/2017 à 17h50.
