Généralisation du produit vectoriel ...

[LocalStone]

Bonsoir à tous,
Dans le cadre de mon TIPE, je suis en train de programmer une structure de donnée "vecteur" de dimension quelconque. Du coup, je lui associe des fonctions de calcul de norme, de produit scalaire et j'en passe et des meilleures ...
Mais ... Il me vient un problème lors du calcul du produit vectoriel . En fait, je connais la formule pour le calculer en dimension 3, et c'est seulement une formule, pas vraiment un algorithme. Du coup, il me vient une question : peut-on généraliser un produit vectoriel à des vecteurs de dimensions superieures à 3 ? Et si oui, quelle est sa définition et existe-il un algorithme simple (ou non ...) pour le calculer. Merci !
++ !
L.S.

[homotopie]

Bonjour,
tout dépend de ce qu'on entend par extension de produit vectoriel.
Clairement (du moins j'espère ) :
dans l'espace de dimension 3, le produit vectoriel vérifie :
i) u^(kv+hw)=k.u^v+h.u^w (linéarité à droite)
ii) linéraité à gauche
on dit qu'elle est bilinéaire
iii) v^u=-u^v (antisymétrie)
La définition repose sur une dualité entre la dimension 1 et la dimension 2 dans un espace de dimension 3. Un exemple classique de cette dualité est un plan peut être défini par une droite qui lui est orthogonale, une droite peut être défini par un de ses plans orthogonaux.
Deux vecteurs en dim=3 donnent un autre vecteur. Le lien est le suivant dét(u,v,w)=(u^v).w (le produit scalaire peut être définie en toute dimension)
En dimension supérieure, la même dualité existe entre la dimension 1 et la dimension (n-1).
Le déterminant de n vecteurs existe et est unique à une constante près.
Un produit scalaire peut être défini.
On peut associer grace à cela un vecteur à (n-1) vecteurs de la manière suivante :
u1^u2^...^u(n-1) est l'unique vecteur tel que :
dét(u1,u2,...,un)=[u1^u2^...^u(n-1)].un
Comment cela se calcule dans la base canonique : (1,0,0..0) (0,1,0,...0)..(0,0,...,0,1) et le produit scalaire classique et le déterminant usuel :
on développe le déterminant dét(u1,u2,...,un) en développant selon la dernière colonne puis en identifiant.

Cordialement

[LocalStone]

Merci de ta réponse. En fait, je comprends parfaitement ta réponse parce que je me suis demandé, avant de lire ta réponse, à quoi le produit vectoriel correspond concrêtement. Et du coup, avoir une fonction qui, à 2 vecteurs de dimension n associait un vecteur orthogonal dans le sens direct ... Bah ça n'avait pas de sens.
Mais du coup, est-ce que l'on peut, un peu à l'inverse de ta réponse, avoir une fonction qui à la donnée de 2 vecteurs de dimension n en renvoie (n - 2) qui sont ... Euh ... Bah je sais pas trop ce qu'ils sont par rapport à ces 2 vecteurs, mais qui ont un rapport avec le produit vectoriel.
Bon, c'est pas très clair, mais pour ma défense, il est tard et je vais pas trop tarder, moi ...
++ !
L.S.

[Bleyblue]

Salut,

J'ai déja entendut dire (par un de mes professeurs) qu'il était impossible de généraliser le produit vectoriel à une dimension autre que trois (en conservant toutes les propriétés de ce dernier)

Ca peut se démontrer je pense ...

[Gwyddon]

Ben en fait au contraire, pour démontrer la plupart de ses propriétés le mieux c'est de se placer en dimension n, puis de faire n=3

Par contre, il existe une spécificité particulière au produit vectoriel en dimension 3 : il permet un isomorphisme entre matrices antisymétriques et applications linéaires antisymétriques, donc d'associer à une matrice antisymétrique un vecteur.

EDIT : zut, je me rend compte que je ne suis pas très clair... Bon je vais voir ce que je peux faire pour améliorer ça

[Michel (mmy)]

Bonjour,

Le produit vectoriel est lié au déterminant et aux matrices antisymétriques.

Le "vrai" résultat du produit vectoriel est une matrice carrée antisymétrique. On peut facilement voir que physiquement, un produit vectoriel n'est pas "vraiment" un vecteur: si on multiplie des mètres par des mètres, on ne devrait pas obtenir des mètres... Le produit scalaire donne des mètres, et on en prend la racine pour avoir une longueur (théorème de Pythagore). Le produit vectoriel est d'une autre nature.

On peut généraliser et obtenir en toute dimension un produit qui donne une matrice antisymétrique, précisément la matrice carrée de coefficients x_iy_j-y_ix_j.

Mais une matriice antisymétrique nxn à n(n-1)/2 coefficients indépendants (la moitié de la matrice, en notant que la diagonale est nulle).

Ce nombre vaut 1 en dimension 2, 3 en dimension 3 et 6 en dimension 4. La particularité de la dimension 3 est que le nombre de coefficients indépendants est égal à la dimension. C'est le seul cas.

Cela permet de faire une relation 1 pour 1 entre vecteurs et matrices antisymétriques en dimension 3.

Le PV c'est donc

v, w --> matrice antisymétrique --> vecteur

la deuxième flêche étant spécifique de la dimension 3.

Cordialement,

[Gwyddon]

Bon voilà, mmy + moi = ce que l'on a tous les deux voulu dire

merci mmy

[Michel (mmy)]

Envoyé par mmy

Le produit scalaire donne des mètres carrés, et on en prend la racine pour avoir une longueur (théorème de Pythagore). Le produit vectoriel est d'une autre nature.

Correction en rouge... S'cusez...

[Bleyblue]

ah tiens ... je confonds avec autre chose alors, bizarre

[Michel (mmy)]

Envoyé par Bleyblue

ah tiens ... je confonds avec autre chose alors, bizarre

Pas nécessairement. La généralisation en dehors de la dimension 3 du produit vect x vect -> vect, avec les propriétés d'un produit vectoriel n'est pas possible.

La généralisation dont J. et je parlons est simplement vect x vect --> matrice carrée antisymétrique.

Cordialement,

[Bleyblue]

Ah bon, ça doit être le premier cas alors (je n'ai pas fort bien suivi votre explication avec les matrices )

[Michel (mmy)]

Je reprend avec formules.

Première application, à deux vecteurs on associe une matrice antisymétrique



Deuxième application (isomorphime entre espaces vectoriels) entre matrices antisymétriques et vecteurs:



Le produit vectoriel en 3D est la combinaison de la première suivie de la deuxième.

La première est généralisable à toute dimension. Mais la dimension 3 est la seule où le résultat à la même dimension que les vecteurs initiaux. La combinaison ne peut pas être généralisée comme produit interne! (Par exemple, en 2D la combinaison donne un produit qui donne un scalaire (la surface du parallélogramme!), et en 4D la combinaison donne un vecteur en 6 dimensions, pas en 4.

Cordialement,