Coniques

[cheezburger]

Bonjour,

On me donne l' équation d'une conique : (x-c)² + y² = (a - ex)²

Je vois bien la notion de distance ici puisqu'on a à gauche : (x - c)² + (y - 0)² = FM²

On me demande d'établir la même équation en échangeant les foyers :

Donc c devient -c (l'abscisse de l'autre foyer), mais pourquoi a-t-on :

(x-c)² + y² = (a + ex)²

Et pas :

(x-c)² + y² = (a - ex)²

Je ne vois pas pourquoi le signe devant ex est inversé dans la nouvelle équation.. Si quelqu'un peut m'aider à comprendre. Merci
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[Resartus]

Bonjour,

Aucune des deux équations que vous indiquez n'est juste : Si on échange les foyers, l'équation n'a aucune raison de changer...
(chaque branche de l'hyperbole correspond à un des signes de la différence des distances, mais l'équation quadratique donne les deux branches)

NB : votre erreur vient du fait que les foyers ne sont pas symétriques par rapport à 0...

[cheezburger]

Pourquoi l'équation ( x - c )² + y² - ( a -ex )² = 0 est-elle fausse ?

Si on cherche un point d'ordonnée nulle vérifiant l'équation on trouve :

x² + c² -2cx - a² - e²x² + 2aex = 0

<=> (1 - e²) x² + 2(ae - c)x + c² - a² = 0 (Or ae - c = 0 puisque c = ea)

<=> (1 - e²) x² = a² - c² = a² ( 1 - e² )

<=> x² = a²

Donc x = +ou- a, ce qui signifie que le centre du repère est bien O.

[Resartus]

Bonjour,
Non, votre équation de départ est correcte, mais c'est votre terme "échanger les foyers" qui m'a enduit en erreur et fait supposer qu'on était dans une équation générale, où le centre n'est pas toujours en 0,0.

Mais si on est dans le cas particulier c=ea, on est dans la définition monofocale d'une conique de centre (0, 0) , définie par le seul foyer c et la directrice x=a/e=d , avec l'excentricité e, ce qu'en général, on écrit plutôt sous la forme (x-f)²+y²=e²(x-d)²

Si vous voulez écrire l'équation par rapport à l'autre foyer -c (et au passage, il faut alors écrire (x+c)²), il faut aussi changer de directrice qui devient x=-d. On doit passer à + des deux cotés

[A voir en vidéo sur Futura]