equa diff bête qui me pose problème.

[ansset]

bonjour,
je rebondi sur le sujet ludique d'un objet traversant la terre d'un pole à l'autre dans un trou rempli d'air. ( par exemple une bille en acier d'un cm )
j'oublie ( pour simplifier dans un premier temps ) les variations de pression. ( en prenant bêtement partout la masse volumique de l'air ambiant )
ce qui complique le calcul est la variation de g en fct de la profondeur.
tant que g reste à peu prêt constant c'est immédiat et évident.

le modèle ( dans l'exercice de pensée ) peut ensuite se simplifier avec une gravitation qui décroit linéairement en fonction de h( profondeur )
quand j'écris l'equa diff qui va avec ,au final je coince car j'abouti à un truc du 3ème degré en v(t).

c'est idiot, et suis probablement fatigué avec les médocs , mais si qcq s'est penché dessus, je suis preneur.
Cdt

ps: je peux écrire ce que j'ai fait, mais je pense que le pb n'est pas dans la formalisation mais dans la résolution.
il doit y avoir une simplification qui m'échappe.
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[jacknicklaus]

Pas sûr de bien comprendre le problème posé.

Tu veux dire que tu cherches l'équation de mouvement d'une bille en chute libre, dans un parcours de traversée de la Terre de pôle à pôle ?
Dans ce cas où intervient la masse volumique de l'air ? (les frottements c'est plutôt la viscosité qui compte, sauf erreur)

[ansset]

non, je commence à simplifier avec une résistance de l'air équivalente à celle de notre atmosphère proche. ( du -Kv² )
c'est la simple variation de g(h) ( même en la supposant linéaire ) qui me renvoie déjà à une équation compliquée alors que je la pensais facile.

[jacknicklaus]

OK.

C'est certain, on tombe sur une équation sans solution analytique facile. D'ailleurs, même sans la complication g fonction de z, l'équation de mouvement d'une chute libre avec frottements quadratiques n'est pas soluble analytiquement. Mais on peut trouver la vitesse limite facilement.
Je crains que ce problème ne puisse se traiter que numériquement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

si g est constant , c'est facile bien sur.
mais une simple variation linéaire de g rend le truc bien plus compliqué que je ne l'aurai cru.

[azizovsky]

je crois que sa ressemble à quelque chose comme :https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Riccati