Ensemble des parties de N

[Médiat]

Donc il existerait dans ZFC, un ensemble x tel que {x}=x ?

Cette phrase n'a aucun sens, je réitère mon conseil donné à quelqu'un d'autre :

Commencez par lire de bons ouvrages (livre de Krivine, ou pdf de Dehormoy (sur le net))

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[akntn]

[QUOTE=gg0;5991507]Akntn,

Ce qui fait que {2} est l'ensemble qui a un seul élément, 2, mais ce n'est pas 2, qui peut être défini mathématiquement comme un certain ensemble, justement à 2 éléments, pas 1.

Peux-tu m'expliquer plus avant le sens de 2 défini comme un certain ensemble à 2 éléments ? Quel ensemble ?
Merci.

[Médiat]

Si en plus vous ne lisez pas les réponses (#28), vous n'avez aucune chance de vous en sortir !

[akntn]

A peut avoir n'importe quel cardinal.

Sinon, lune façon usuelle de construire les entiers par récurrence, c'est de poser :

(ou s est la fonction successeur)

Donc

Merci pour l'info.

[Tryss2]

Attention, il y a une faute de frappe dans mon message, donc je corrige,



Et

[minushabens]

Je ne savais pas qu'un élément de N pouvait avoir un cardinal. 2 est donc un ensemble ?

dans la théorie des ensembles tout les objets qu'on manipule sont des ensembles, y compris ceux auxquels par habitude on donne d'autres noms : les applications, les relations. Quand on écrit que x est élément de y on décrit un lien entre deux ensembles. Ainsi les nombres 0,1,2 sont-ils vus comme des ensembles. Mais quand on fait de l'arithmétique on peut sans danger oublier ça.

[akntn]

Attention, il y a une faute de frappe dans mon message, donc je corrige,



Et

Peut-on l'écrire comme ça :

0 = §
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
4 = {0,1,2,3}

etc.

[Médiat]

Oui, à un détail près : 0 = {}

Et pour donner un exemple de la règle exposée par Tryss2 :
5 = 4 U {4 } = {0,1,2,3} U {4 } = {0,1,2,3,4}

[akntn]

Donc il existerait dans ZFC, un ensemble x tel que {x}=x ?
(c'était de cette essentielle là dont je parlais, à moins que tu ne le contestes, alors j'attendrais que tu me donnes un tel exemple).

C'est le cas de U, l'ensemble de tous les ensembles. Les éléments de P(U) sont des ensembles, donc des éléments de U. Cela montre que P(U) est un sous-ensemble de U. Contradiction avec le théorème de Cantor. Les nombreux paradoxes engendrés (Russell) ont amené les mathématiciens à ne pas tenir compte de cet ensemble. D'une façon générale, on admet (mais là aussi c'est une pure convention) qu'aucun ensemble ne peut s'appartenir.

[akntn]

Oui, à un détail près : 0 = {}

Et pour donner un exemple de la règle exposée par Tryss2 :
5 = 4 U {4 } = {0,1,2,3} U {4 } = {0,1,2,3,4}

Merci pour ces précisions.

[Médiat]

D'une façon générale, on admet (mais là aussi c'est une pure convention) qu'aucun ensemble ne peut s'appartenir.

Vous retombez dans l'affirmation sur des choses que vous ne maitrisez pas, du coup, vous proférez une erreur (dans le meilleur des cas, il manque des précisions).

[gg0]

Akntn,

fais-tu des maths ? Ou de l'histoire des maths ? Il serait bon de le préciser, car les matheux qui te répondent parlent de la notion mathématique d'ensemble (c'est un forum de maths), qui est définissable de plusieurs façons, pas d'une idée intuitive d'ensemble qui a montré qu'elle est inutilisable pour faire des maths.
A partir du moment où tu parles de "l'ensemble de tous les ensembles", tu ne fais plus des maths, mais un discours sur des mots mal définis. C'est ce que font certains philosophes actuels, peu formés en maths, mais habituées à manipuler des mots. C'est ce que font les historiens des maths, puisque cette notion a été centrale à une époque, même si elle aboutit à une impasse (de même, en histoire des sciences, on parle d'alchimie ou d'éther). On trouve aussi ça dans des articles de vulgarisation qui malheureusement mélangent la notion intuitive d'ensemble avec la théorie mathématique.

Au fait, comment définis-tu un ensemble (mathématiquement, bien sûr) ?

Cordialement

[akntn]

[QUOTE=Médiat;5991723]Vous retomber dans l'affirmation sur des choses que vous ne maitrisez pas, du coup, vous proférez une erreur (dans le meilleur des cas, il manque des précisions).[/QUOTE

Oui, le mot "admet" n'est pas le bon. J'aurais dû dire : "on convient qu'un même être mathématique ne peut jamais être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble". C'est la même chose, mais mieux tourné.

[akntn]

Akntn,

fais-tu des maths ? Ou de l'histoire des maths ? Il serait bon de le préciser, car les matheux qui te répondent parlent de la notion mathématique d'ensemble (c'est un forum de maths), qui est définissable de plusieurs façons, pas d'une idée intuitive d'ensemble qui a montré qu'elle est inutilisable pour faire des maths.
A partir du moment où tu parles de "l'ensemble de tous les ensembles", tu ne fais plus des maths, mais un discours sur des mots mal définis. C'est ce que font certains philosophes actuels, peu formés en maths, mais habituées à manipuler des mots. C'est ce que font les historiens des maths, puisque cette notion a été centrale à une époque, même si elle aboutit à une impasse (de même, en histoire des sciences, on parle d'alchimie ou d'éther). On trouve aussi ça dans des articles de vulgarisation qui malheureusement mélangent la notion intuitive d'ensemble avec la théorie mathématique.

Au fait, comment définis-tu un ensemble (mathématiquement, bien sûr) ?

Cordialement

J'ai mentionné le problème de l'ensemble des ensembles à l'intention de Dattier qui s'interrogeait sur l'existence d'un tel ensemble. C'est de l'histoire des maths, cela. Je n'ai pas dit qu'il fallait défendre ce concept, mais le concept existe, tout comme l'alchimie et l'astrologie. Les anciens chercheurs (Newton par exemple) ne divisaient pas comme nous la connaissance en rondelles.

[gg0]

De l'art de tout mélanger pour noyer le poisson.

[akntn]

De l'art de tout mélanger pour noyer le poisson.

Non, je ne crois pas. Mais peut-être certaines vérités ne sont-elles pas bonnes à entendre ?
Définition d'un ensemble (selon moi) : un ensemble est un continuum, non une boîte.

[Médiat]

Oui, le mot "admet" n'est pas le bon. J'aurais dû dire : "on convient qu'un même être mathématique ne peut jamais être à la fois un ensemble et un élément de cet ensemble". C'est la même chose, mais mieux tourné.

Non, ce n'est pas "mieux tourné", ce que je voulais dire, c'est que ce que vous affirmez se déduit, généralement, de l'axiome de fondation (c'est cela la précision à laquelle je faisais allusion), or il existe des théorie des ensembles sans AF et même des théories avec l'axiome d'anti-fondation !

[Médiat]

Mais peut-être certaines vérités ne sont-elles pas bonnes à entendre ?

C'est le genre de phrase que l'on rencontre de la part de complotistes, pas sur un forum de mathématiques !

Définition d'un ensemble (selon moi) : un ensemble est un continuum, non une boîte.

Selon vous peut être, mais pas selon les mathématiciens : continuez ainsi et ce fil sera fermé !

[minushabens]

Définition d'un ensemble (selon moi) : un ensemble est un continuum, non une boîte.

outre que cette définition ne signifie pas grand-chose, elle n'est pas nécessaire. Dans la conception moderne des mathématiques, on n'a pas à définir les "objets primitifs" comme les ensembles, les points et droites de la géométrie, etc.

[gg0]

Bon,

il est clair qu'il ne s'agit pas de maths. Le "Si vous désirez que je devienne un bon élève" n'était qu'un argument polémique, pas l'expression d'un désir de comprendre.

[akntn]

C'est le genre de phrase que l'on rencontre de la part de complotistes, pas sur un forum de mathématiques !


Selon vous peut être, mais pas selon les mathématiciens : continuez ainsi et ce fil sera fermé !

Médiat, vous exagérez encore. On dirait que vous avez peur de quelque chose. Si vous voulez fermer ce fil, n'hésitez pas.
Cordialement.

[Médiat]

A la demande de l'auteur : on ferme