Suite de parties d'un ensemble

[pierresimpore]

Bonjour, j'ai besoin d'un peu d'aide pour traiter cet exo:
soit une suite de parties d'un ensemble . on pose
et


1) On suppose que est monotone. Que vaut et

2) Meme question que précédemment si la suite est définie par: et ou et sont deux parties de .

3) Montrer que:
a)

b)

c)

d)

mes elements de reponse:

1) 1er cas si est croissante, on a:
et


2e cas si [tex]A_n [\tex] est croissante, on a:

pour cette partie je bloque j'ai posé
il est clair que les sont croissantes donc je me retrouve avec
.

2) dans cette question on a:

.
donc par consequent
\lim \inf_{n \to \infty} A_n = A \bigcup B [\tex].
pour les autres questions je n'arrive pas.
-----

[Médiat]

Bonjour,

je ne comprends pas vos réponses (quelques fautes de frappe)

En tout état de cause si est monotone, il y a bien 2 cas
1) Croissante : ne dépend pas de n
2) Décroissante :

Et des relations du même genre pour l'intersection

[invite52487760]

Bonjour,

Je te montres comment faire, , car la formule est très jolie :
Alors, il s'agit de montrer que : .
Pour cette inclusion : .
Si , alors :
: .
i.e :
:
i.e :
:
Alors, ici :
Si : : , dans quel ensemble est inclus : .
en déduire que : .
Par conséquent : .
Par conséquent : .

[pierresimpore]

Bonjour Médiat si les sont de décroissantes alors

donc

ou bien?

Dans quel ensemble est inclus ? je dirai l'ensemble puisque quelque soit , .
ensuite si alors donc car n'est-ce pas monsieur chentouf?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

ou bien?[/QUOTE] Oui, et comme la suite est décroissante, cette intersection es égale à ...


Vous êtes Suisse ou bien ?

[invite52487760]

Non.
Toujours dans , Si, : , pour quel valeur de dans , on a : . en déduire la partie de dans laquelle est contenue : . en déduire ensuite que : . On conclut ainsi que :

[pierresimpore]

ou bien? Oui, et comme la suite est décroissante, cette intersection es égale à ...
Vous êtes Suisse ou bien ?

la suite est décroissante, on ne peut pas avoir une expression plus simplifiée que ça. non?


Pour , est contenue dans ce qui est equivalent à dire que n'appartient à que pour un nombre fini de ie


je peux donc conclure que c'est bon? Si oui devrons-nous pas montrer l'inclusion inverse avant de parler d'égalité ?

[invite52487760]

Très bien.
Oui, il faut maintenant établir l'inclusion inverse, pour avoir finalement l'égalité.
Donc, comment établir que : .
Donc, soit : . Alors : .
A quoi est égale : .
Quel lien a t-il avec : lorsque : est convergent ?
Poursuis le reste du travail seul, c'est facile. Il reste deux étapes.

[pierresimpore]

Très bien.
Oui, il faut maintenant établir l'inclusion inverse, pour avoir finalement l'égalité.
Donc, comment établir que : .
Donc, soit : . Alors : .
A quoi est égale : .
Quel lien a t-il avec : lorsque : est convergent ?
Poursuis le reste du travail seul, c'est facile. Il reste deux étapes.

Bonjour, je ne sais pas.
? l'indicatrice est soit 1 soit 0.
puisque quelque soit x, , donc .

[invite52487760]

Non, en théories des séries numériques :
Si est une série à termes positifs, alors : .
Donc,
en théorie des valeurs d'adhérence d'une suite numérique, si est une suite numérique.
Alors : .
Lorsque converge, alors : .
Par conséquent : .
Donc, finalement : .
Puis tu passes au complémentaire, et tu obtiens le résultat.

[pierresimpore]

je vois maintenant , le complémentaire de qui est ;
je vais essayer d'appliquer le meme principe pour les autres questions et poster mes rponses

[invite52487760]

Voilà. Très bien.
Comment tu obtiens à partir de ? La démo ne demande même pas une ligne.

[pierresimpore]

Bonjour,
pour 3_a) on a,


en posant on a

ce qui donne



ce qui donne


ce qui donne finalement

.

pour la 3 b) j'ai besoin d'aide, soit alors il existe , pour tout , je sais plus comment continer

Voilà. Très bien.
Comment tu obtiens à partir de ? La démo ne demande même pas une ligne.

j'avais pensé à prendre le complementaire mais on obtient plutot

au lieu de et donc j'ai utilsé la longue methode ie montrer les deux inclusions, bon je vais exposer la premiere:
ssi pour tout n de N il existe p superieur ou egale à n tel que ie x n'appartient à que pour un nombre infini de n. d'ou le resultat.

[invite52487760]

Oui, c'est ça l'idée, c'est bien :
Donc, d'après :
c'est à dire que : en mettant à la place de .
Par passage au complémentaire :
C'est à dire :

[invite52487760]

se déduit immédiatement de : et .
Pour , montrer que : revient à montrer que :
:
et :

Par ailleurs, on a : :
si et seulement si :
parce que, par complémentarité : ( i.e : par contraposée ) puisque l'image de la fonction indicatrice : ne contient que deux éléments : et , donc, les fibres : et sont complémentaire.
D'où, il suffit de montrer seulement :
:

[pierresimpore]

je vois, mais
Est ce ma demo de 3 a) est juste?
ensuite une idée pour la 3 b)?

[invite52487760]

Oui, ce que tu as fait en est bon, parce que, en général : et , donc, c'est bien.
Pour , tu t’appuies sur et pour arriver au résultat, c'est à dire, il suffit de montrer que :

ce qui est immédiat ... Applique juste le résultat d'hier sur les séries numériques, et tu es presque au bout.

[pierresimpore]

ok soit x element de alors ce qui implique que par passage au complementaire on a

, en theorie des series on aura

on peut donc conclure que

[invite52487760]

Tu vois, c'est facile.
Ou bien, tu écris : signifie que :

c'est à dire :
Donc : Pour tout , on a :
C'est à dire : Pour tout , on a : .
et par conséquent : . Tu vois !?! c'est sans réfléchir. C'est automatique.

[pierresimpore]

Merci ment M.Chentouf, je constate que j'ai beaucoup lacunes. je ferai tout pour y rémédier mais je viendrai emmerder les gens sur ce forum.
j'etudie actuellement la theorie de la mesure et de l'integration, c'est interssant mais les exos sont hyper compliqués.