La fonction modulaire j

[mcheddadi]

Bonjour,
Comment trouver la valeur de la fonction modulaire j en i ?

Merci.
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[0577]

Bonjour,

j(i)=1728.

[0577]

(le réseau a un automorphisme d'ordre 4 donné par la multiplication par i (géométriquement, c'est un réseau de maille carrée). La fonction g_3 étant proportionnelle à la somme des inverses des puissances sixièmes des éléments non-nuls du réseau, la valeur g_3(i) est multipliée par i^6=-1 sous cet automorphisme, d'où g_3(i)=-g_3(i) et donc g_3(i)=0. Puisque par définition on a j=1728 g_2^3/(g_2^3-27g_3^2), on en déduit que j(i)=1728).

[mcheddadi]

Bonjour,
Je sollicite votre aide pour la question suivante :
Si z , élément du domaine fondamental D et vérifie : z est dans la frontière du domaine ou partie réelle de z = 0, alors partie imaginaire de j(z) est nulle.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Use du fait que le réseau est préservé par conjugaison complexe si est sur l'axe imaginaire.

[mcheddadi]

Merci.
Mais pouvez-vous être plus explicite ?. Je commence a peine ce cours.

[AncMath]

Tu veux montrer qu'un nombre est réel, une bonne idée est donc de lui appliquer la conjugaison complexe et de voir qu'il est invariant.
Tu peux utiliser l'expression donnée par 0577 en fonctions des séries d'Einsenstein.
Une série d'Einsenstein est une somme sur un réseau des inverses d'une puissance paire des éléments du réseau non nul. En particulier si est imaginaire pur, alors mais . Itou pour .

[mcheddadi]

Merci.
Je voudrais démontrer qu'un point du domaine fondamental ( n'appartenant pas a la frontière et dont x est non nul ) ne peut être équivalent a son conjugué , par l'action de SL2(Z).

[AncMath]

Et bien, résous l'équation !!

[mcheddadi]

Bonjour,
Je voudrais être guidé pour établir l'identité :
( 5/6) E4 = ( 1/ 2*i*pi ) E2' + 2* E2^2
Cordialement.