Espace topologique tordu

[Edvart]

Bonsoir,

Voilà deux ou trois semaines notre professeur de topologie en amphi nous a proposé de trouver un exemple d'espace topologique avec :
- x appartient à l'adhérence de A mais
- Il n'existe aucune suite d'éléments de A qui converge vers x.

J'avais cherché une soirée sans succès, puis j'avais complètement oublié car ça ne m'empêchait pas de dormir (comme quoi je ne serais jamais un grand mathématicien!). Puis les partiels arrivent donc j'ai commencé à réviser le début du cours et je suis retombé sur ce petit exercice.
Auriez-vous juste un indice? J'aimerais bien trouver moi-même. J'ai essayé avec des petits ensembles finis à 3 ou 4 éléments, avec la topologie grossière, discrète, puis des topologies à mi-chemin, plus grande que la grossière, plus petite que la discrète, et je n'ai pas réussi. J'ai essayé avec des trucs plus exotiques, comme des espaces de fonction etc mais à chaque fois je me suis trouvé dans le cas d'un ensemble infini indénombrable, ce qui m'a posé des problèmes pour déterminer une topologie autre que la discrète et la grossière.

Merci pour votre petit coup de pouce!
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[Anonyme007]

Bonjour,

Si je ne m'abuse, dans , muni de la topologie usuelle, vérifie les conditions que tu cites. est une valeur d'adhérence sans qu'il ait de suites vers lequel elles convergent.

Cordialement.

[pm42]

Et la suite constante qui vaut 2 ? Question naïve, j'ai vraiment beaucoup oublié pendant les 30 ans où je n'ai pas fait de topologie.
Mais en relisant la définition d'adhérence sur Wikipedia, je me demande s'il ne faudrait pas trouver une espace non métrique et même non métrisable ce qui ne cours pas les rues.

[AncMath]

Prend l'espace suivant la dessus met la topologie dont le seul fermé non trivial est . Prend .

Bon mais selon la définition que tu prend de converge, ca pourrait ne pas te convenir.

Sinon prend muni de la topologie dont les fermes non triviaux sont les parties au plus dénombrables. Alors toute suite convergente est constante à partir d'un certain rang, mais il existe des parties non fermées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

une espace non métrique et même non métrisable ce qui ne cours pas les rues.

Ça dépend des rues dans lesquelles on a l’habitude de traîner ses guêtres

[Amanuensis]

Question annexe, qui me vient en réfléchissant à l'exo: quelle est la notion de convergence pour une topologie non séparée? Parle-t-on de convergence quand la «limite» n'est pas unique?

(Ou faut-il penser que par sous-entendu implicite la topologie est «suffisamment» séparée?)

[AncMath]

Globalement je ne connais pas de terminologie spéciale. La convergence étant plutot une mauvais notion dans les espaces non métrisables, je pense pas qu'il y a une seule notion claire. Par exemple une possibilité serait de dire qu'une suite converge1 vers un point si tout voisinage de ce point contient presque tous les termes de la suite, presque tous ici veut dire : tous sauf un nombre fini donc. Dans ce cas effectivement on a pas unicité de la "limite" et une suite peut converger1 vers 2 points distincts. Une autre possibilité est de dire qu'une suite converge2 si elle converge1 vers un unique point.

En fait la convergence1 s'utilise pas mal (dans certaines ruelles) mais on parle alors plutôt de spécialisation que de convergence et on l'utilise surtout pour les suites constantes.

Si on se tient à converger1, alors mon exemple 1 ne mache pas, car est dans l'adhérence de et la suite constante valant tout le temps converge1 vers , mais elle ne converge2 pas. Toute suite converge vers d'ailleurs !

Mon exemple 2 lui fonctionne même avec converge1.

[Edvart]

Salut tout le monde, merci de m'aider ! Pour ce qui est de ma définition de convergence, ici c'est avec les voisinages.
Si je comprends bien AncMath, dans le premier exemple que tu m'as donné


Je défini ma topologie par le biai des fermés :



J'ai bien que toute intersection est dans , toute union finie est dans , et il y a l'ensemble total et l'ensemble vide, c'est une topologie sur cet ensemble.
L'adhérence de est l'intersection de tous les fermés qui contiennent , ici ça donne . Soit , par exemple . Une suite d'élément de est forcément la suite constante qui donc ne converge pas vers au sens métrique du terme. Maintenant, au sens topologique :

Si la suite converge vers , alors pour tout voisinage de (notamment ), il existe un rang à partir duquel pour tout n, appartient à ce voisinage. Et ici ça n'est pas le cas pour le voisinage que j'ai choisi. Donc ça ne converge pas non plus au sens topologique du terme.

C'est effectivement ce que je cherchais, si j'ai bien compris! Mais j'étais top innocent pour choisir un qui ne soit pas un élément de ma topologie!

[AncMath]

Tu sembles t’être quelque peu emmêlé sur la fin. Notamment n'est pas un voisinage de . Tout voisinage de contient tous les termes de la suite, puisque le seul voisinage de est l'espace tout entier.
Tu peux examiner le second exemple pour ton sens "topologique".

[Edvart]

Alors pour moi, est un voisinage de s'il existe un ouvert de ma topologie,
Et j'ai effectivement oublié que ma topologie était définie par des fermés, et non pas par des ouverts... Mes ouverts sont donc : et donc le seul voisinage de disponible ici est bel et bien mon ensemble total... Merci pour m'avoir fait remarquer l'erreur.

Du coup pour ton deuxième exemple, voyons si je comprends bien :

On défini une topologie par le biai de ses fermés.
A est fini ou dénombrable

Soit avec indénombrable. Alors ce n'est pas un fermé de ma topologie. Soit maintenant un élément de qui n'est pas dans aucun fermé de ma topologie... Et là je coince, je ne sais pas comment le trouver. Tout élément est aussi dans , qui est fini et donc qui est dans ma topologie.
Donc je n'ai pas du comprendre ton exemple.. Je comprends que les suites convergentes d'éléments d'un fermé sont forcément constantes à partir d'un certain rang par contre bien sûr

[AncMath]

Prend A indénombrable comme tu dis, par exemple A=[0,1], quelle est l’adhérence de A ? C'est d'ailleurs un fermé que tu as oublié de décrire quand tu as décris ta topologie. Prend un point adhérent à A et qui ne soit pas dans A, si une suite de A convergeait vers ce point alors que pourrais tu dire ?

[Edvart]

Alors si
L'adhérence de , c'est l'intersection de tous les fermés qui contiennent . Or tout élément qui contient est forcément indénombrable. Donc je n'ai pas le choix ici, je crois bien que

Si maintenant je prend un point qui est adhérent à , de manière topologique ça veut dire un point , par exemple .
Je vois bien qu'une suite d'éléments de ne peut pas converger vers 2 au sens métrique, donc si j'ai tout bien compris on a enfin trouvé ce que je cherchais!

Après je t'avoue que je vais avoir du mal à faire la convergence topologique car les ouvert de cette topologie ne m'ont pas l'air instinctif, mais je vais tenter :
J'ai l'impression que tout ouvert de ma topologie est ici la droite des réelles à laquelle on retire un nombre fini de points. Tous mes ouverts sont la droite des réels avec des trous (et bien sûr l'ensemble vide et la droite des réels complète).

Pour tout voisinage de 2, il existe un rang de ma suite à partir duquel tous les éléments de ma suite sont dans ce voisinage.
Un voisinage de 2, c'est une partie de qui contient un ouvert de ma topologie qui contient l'élément 2.

Je définis l'ensemble la droite des réels à laquelle je retire les points de ma suite. C'est bien un ouvert de ma topologie, car c'est le complémentaire d'un fermé de ma topologie. De plus je sais qu'en faisant ça je ne retirerais jamais 2 à .

J'ai donc trouvé un ouvert de ma topologie qui contient 2, et je vais m'en servir comme voisinage . On voit bien que pour ce voisinage, il n'existe aucun rang à partir du quel les éléments de ma suite sont dans ce voisinage, car il n'y a aucun terme de ma suite. Donc j'ai bien 2 est dans l'adhérence de A, et il n'existe aucune suite d'éléments de A qui converge vers 2.

C'est correct?

[gg0]

Edvart,

si tu considères que [0;1] est une partie de muni de sa topologie habituelle, alors son adhérence est [0;1], pas . Puisque A est un fermé, il est l'intersection de tous les fermés qui le contiennent (si un fermé contient A, il contient le fermé A).

Cordialement.

[AncMath]

C'est correct?

Quelques petites imprecisions, par exemple un ouvert est la droite à laquelle on a retiré un nombre au plus dénombrable de points (pas fini), mais l'idée est bien là.

[Edvart]

Salut gg0, en fait on a pris une topologie un peu différente pour l'exemple! On a pris comme topologie définie par les fermés, les fermés étant toutes les parties au plus dénombrables de et donc pas la topologie usuelle induite par la distance euclidienne. J'ai bien compris ta remarque?

En tout cas merci AncMath. Je n'aurais pas trouvé tout seul pour deux raisons :
1) je n'aurais pas pensé à prendre pour A un élément qui n'était pas dans ma topologie,
2) j'étais plutôt à la recherche d'un ensemble étrange que d'une topologie pas assez fine.

Merci pour ton temps!