Trouver Alpha et Beta d'un polynôme en connaissant la racine complexe

[Maestro17]

Bonsoir,
Voici l'énoncé : P(x)=X^3-X²+7*(Alpha)X+ 3*(Beta)
Calculer les valeurs des paramètres Alpha et Beta tels que (2-j) soit racine de P(x).

J'ai commencer par remplacer X par (2-j) et par (2+j) car quand (2-j) est racine, son conjugué l'est aussi, j'ai mis =0 pour les 2 équations.
Je trouve 2 équations:

en remplaçant par 2-j : -1 -7j +14 Alpha - 7 Alpha j + 3 Beta = 0 (1)
en remplaçant par 2+j : -1 +7j+14 Alpha - 7 Alpha j +3 Beta = 0 (2)

Je voulais faire un système pour trouver alpha et Beta mais si je souhaiterai l'équation "2" avec l'équation "1" tout ce simplifie, je trouve cela louche du coup est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp.

Merci d'avance.
-----

[Dynamix]

Salut

je trouve cela louche

Le résultat est j = 0
Ce n' est pas louche du tout .
C' est juste complètement idiot !

quand (2-j) est racine *******, son conjugué l'est aussi .

Devinette :
Par quoi il faut remplacer *******pour que cette affirmation soit vraie ?
Et accéssoirement :
Pourquoi ça ne s' applique pas dans ton cas ?

[Maestro17]

Salut, je ne comprends pas ...

[Dynamix]

D' ou tu sorts "le conjugué l' est aussi" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Maestro17]

C'est mon prof qui me l'a dit...

[jacknicklaus]

dis plutôt que tu n'as pas tout écouté...

exemple d'équation : p(z) = z - j = 0.

j est solution. tu crois que son conjugué -j l'est aussi ?

[Maestro17]

Ah d'accord et maintenant aide moi à trouver la solution de l'exercice alors...

[Dynamix]

Si un nombre complexe est nulle :
_sa composante réelle est nulle
_sa composante imaginaire est nulle

[Maestro17]

Je dois remplace X par quels valeurs alors ?

[Dynamix]

Ce qui est dit dans l' énoncé = (2-j)
Il n' y a rien à inventer .

[Maestro17]

J'ai remplacé X par 2-j et je trouve : -1 - 7j + 14 Alpha - 7 Alpha j + 3 Beta = 0

Ensuite puisque qu'on m'a dit plus haut dans la conversation que la partie réel doit =0 et la partie imaginaire doit être égale =0,
je pense faire un système d'équation :

-1 +14 Alpha + 3 Beta = 0

-7 j -7 Alpha j + 3 Beta = 0

Mais je sais pas comment résoudre cela ...

[Dynamix]

-7 j -7 Alpha j + 3 Beta = 0

Gros beta

[TesiI]

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé, mais à priori alpha et beta sont complexes.

Donc ton identification des parties réelles et imaginaires est à revoir....

[Dynamix]

Ce n'est pas précisé dans l'énoncé, mais à priori alpha et beta sont complexes.

Si c' était le cas , on ne pourrait pas résoudre l' équation .
Donc , pour moi , à priori , ce sont des réels .

[TesiI]

Si c' était le cas , on ne pourrait pas résoudre l' équation .
Donc , pour moi , à priori , ce sont des réels .

Au temps pour moi, alors laissons Maestro17 corriger son identification sachant que beta est réel.

[Maestro17]

Salut Tesil ! Désolé mais je n'ai pas compris ton conseil que dois je faire après avoir remplacer X par 2-j et avoir trouvé une équation avec du alpha, du beta, du alpha j et des nombres rééls... ?
Merci d'avance.

[jacknicklaus]

-1 +14 Alpha + 3 Beta = 0

c'est correct

-7 j -7 Alpha j + 3 Beta = 0

ici c'est faux. déjà dit d'ailleurs. revois ton calcul.
tu vas voir, tu obtiendra ici directement la valeur de alpha.

[Maestro17]

En refaisant plusieurs fois le même calcul je tombe encore sur la même chose :

Je pose A = Alpha et B = beta :

(2-j)^3 - (2-j)² + 7A * (2-j) + 3 B = 0 Pour la ligne suivante j'utilise le triangle de Pascal :

(2^3 - 3*2²*j + 3*2*j² - (j)^3) - (4 - 4j + (j)² ) + 14A - 7Aj + 3B =0

(8 - 12j - 6 + j ) - ( 4 -4j -1) +14A - 7Aj +3B = 0

(2 -11j) - (3 - 4j) +14A - 7Aj +3B = 0

2 - 11j - 3 + 4j +14A - 7Aj +3B = 0

-1 -7j +14A - 7Aj +3B = 0

Arriver là je ne sais pas comment faire...

[jacknicklaus]

ton calcul est correct.
si ce nombre est égal à zéro, ceci signifie que partie réelle et imaginaire sont tous deux zéro :

-1 + 14A + 3B + j(-7 - 7A) = 0
donc (on suppose A et B réels)
- 1 + 14A + 3B = 0
et
-7 -7A = 0

[Maestro17]

En suivant ton raisonnement je trouve le système suivant :

-1 + 14A+3 B = 0
-7-7A=0

14A + 3 B = 1
A=-1

B = 15/3 = 5
A= -1

C'est juste... ?

[eudea-panjclinne]

C'est exact.
A titre simplement informatif, la méthode utilisée par Maestro dans son premier message est correcte si on suppose alpha et beta réels.
Dans ce cas, de deux choses l'une, on trouve alpha et Beta réels et c'est fini, sinon dans ce cas, soit il n'y a pas de solution, soit elles sont complexes et la supposition tombe.
Ici elles sont réelles; Maestro aurait pu les trouver, ma sa seconde ligne de calcul est fausse :
on doit trouver-1+7i+(14+7i)Alpha+3B=0

[gg0]

Bonsoir.

Si alpha et bêta sont des réels, alors l'idée de Marestro17 au début est bonne, il fallait simplement l'utiliser correctement (au moins une erreur de signe dans la deuxième équation). Comme il s'agit de deux conjugués, par addition soustraction des deux équations, on trouve une équation qui donne alpha et une autre qui donne bêta en fonction de alpha. Ou on utilise l'écriture algébrique du complexe 0.

Cordialement.