Espace vectoriel Base dim 5

[corentinca]

Bonjour je rencontre un problème avec un exercice sur les espaces vectoriel.

Voici l'énoncé ( j"étudie en allemand donc certains termes m'échappe)

"Montrer de manière général que pour A appartenant a R^mxn , que U = ( x appartenant a R^n tq Ax=0) est un espace vectoriel ( sous espace vectoriel de R^n)

Q1) Trouver une base de U dans le cas :

Capture d’écran 2017-11-24 à 17.29.09.png

Réponse :

Capture d’écran 2017-11-24 à 17.29.54.png

J'ai compris pourquoi il fait ça mais pourquoi as-t-on que 2 vecteurs à la fin? On devrait en avoir 5 pour que ça soit une base complète non?


Q2) Completer la base de U en une base de R^5


Réponse:
Capture d’écran 2017-11-24 à 17.35.24.png



Alors la je bloque , je ne comprends pas le t.b1=0=tb2 je vois bien que ça sert a déterminer les autres vecteurs de la base mais pourquoi cette égalité?
t serait un vecteur colinéaire a b1 et b2 alors que b1 et b2 ne sont pas colinéaire ?
J'aimerai bien quelques éclaircissement car je vous avoue être un peu pommé.
De plus a la fin Ab3 n'est pas égale a 0 ... ce que qui ne convient par rapport a l'espace U.... pourquoi?


Merci de vos réponses.
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[sylvainc2]

U est le noyau de A noté ker(A), c'est un sous-espace vectoriel de R^5, et puisque A est 3 lignes x 5 colonnes, donc 2<=dim(ker(A))<=5. Après avoir échelonné A, on voit que dim(Im(A))=3 donc dim(ker(A))=2 selon le théorème du rang, une base est donc formée de 2 vecteurs linéairement indépendants de R^5.

C'est dans la question 2 qu'on demande de compléter cette base en une base de R^5. Je pense que t est un vecteur orthogonal à b1 et b2 car t.b1=t.b2=0 est le produit scalaire. Il trouve facilement ainsi b3 et b4, qu'il complète avec un b5 indépendant de b1 à b4.

Pour A b3 # 0, bien oui car b3,b4 et b5 ne doivent pas être dans ker(A) puisque ces vecteurs doivent être indépendants de b1 et b2 qui sont dans ker(A).