Inégalité avec le produit des factoriels impaires

[yanisoupas]

Bonjour je dois démontrer que 1! 3! 4!...(2n+1)! ((n+1)!)^n+1 par recurrence mais je ne trouve pas la clé je vois pas comment faire , si vous pouviez m'aider s'il vous plait.
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[Médiat]

Bonjour,

Pourtant il suffit (presque) de l'écrire ... Alors montrez-nous ce que vous avez fait

[yanisoupas]

je me suis trompé c'est ceci que je dois demontrer 1! 3! 4!...(2n+1)! >= ((n+1)!)^n+1

[gg0]

Heu ... c'est pas 1! 3! 5! ...(2n+1)! ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[yanisoupas]

Oulaa excusez moi je n'ai pas relu mon message ! Effectivement c'est le produit des paires et on doit démontrer l'inégalité

[gg0]

Bonjour.

Une preuve par récurrence me semble difficile. Si l'on suppose que pour un n donné,

il faut multiplier le premier membre par (2n+3)! pour passer au terme suivant, d'ordre n+1. or

a la mauvaise idée d'être inférieur (*) à


Donc on ne peut pas utiliser seulement l'hypothèse de récurrence.

Cordialement.

(*) je n'ai pas fait de preuve, mais pour les petites valeurs de n c'est le cas.

[minushabens]

et avec l'inégalité de Jensen ça vient pas? ( n->log(n!) est convexe )

[albanxiii]

Oulaa excusez moi je n'ai pas relu mon message ! Effectivement c'est le produit des paires et on doit démontrer l'inégalité

Le titre mentionne impaires.
(2n+1) est impair.
Vous dites maintenant pair.

Que fait-il faire pour savoir ce qu'il en est vraiment ? Un vote à la majorité ?

[Médiat]

Bonjour

Une preuve par récurrence me semble difficile.
...

(*) je n'ai pas fait de preuve, mais pour les petites valeurs de n c'est le cas.

Sauf erreur de calcul j'ai trouvé la récurrence facile à montrer.


Pour n= 1 et 2 cela marche

[gg0]

Me trompé-je quand je dis

a la mauvaise idée d'être inférieur (*) à

Cordialement

[Médiat]

Pour les petites valeurs n = 1 :


pour n = 2 :



Et le calcul général de l'hérédité m'a paru simple (je ne suis pas à l'abri d'une erreur de calcul)

[gg0]

OK.

j'ai du faire une erreur en vérifiant avec Maple, probablement l'oubli de ! après (2n+3).

Désolé.

[ID123]

posant A(n) = produit des factorielles impaires jusqu'à (2n-1)!, et supposant un n tel que A(n) >= (n!)^n
il faut montrer l'hérédité A(n+1) >= ((n+1)!)^(n+1)

A(n+1) = A(n).(2n+1))! >= (n!)^n . (2n+1)!

Une idée simple est de faire apparaître un (n!) dans (2n+1)!, et de minorer le reste.

jacknicklaus

[minushabens]

sinon on peut remarquer que (n+1)=(1+3+...+(2n+1))/(n+1) i.e. n+1 est la moyenne arithmétique des nombres impairs de 1 à 2n+1

si on prend les logarithmes des deux membres, on doit montrer que (n+1)log((n+1)!) <= log(1!)+...+log((2n+1)!)

ou si l'on préfère log((n+1)!) <= (log(1!)+...+log((2n+1)!))/(n+1)

la fonction n->log(n!) étant convexe l'inégalité ci-dessus est un cas particulier de l'inégalité de Jensen.