Equation aux dérivées partielles

[ArtusV]

Bonjour à tous,

l'exercice est le suivant. Soit l'EDP -xln(x)u_x + y u_y + e^(-u) = 0, montrer que les solutions s'écrivent
u(x,y) = ln( g[ yln(x) ] - ln(y) )

J'ai trouvé que les caractéristiques sont les courbes d'équations 1 / ( yln(x) ) = cte
jai posé le changement de variable E = y et N = 1 / ylnx
u(x,y) = v(E,N)
en remplacant dans l'équation de départ j'obtiens y v_E + e^-v = 0 ensuite d'après le changement de variables j'ai remplacer y par 1 /(ln(E)*N) et là je ne sais plus comment avancer ?

Un autre changement de variable aurait il été meilleur ?

Merci
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[JJacquelin]

Solution en page jointe :

[JJacquelin]

Il y a une faute typographique dans la dernière équation de mon message original (sur la page jointe). Je n'arrive pas à faire la correction car le site refuse le remplacement de la page originale par la page corrigée.
C'est la raison pour laquelle j'envoie une seconde réponse avec la page corrigée.
Je suppose que le modérateur pourra reporter la page corrigée dans le premier message et supprimer ce qui doit l'être. Merci par avance.

[ArtusV]

Bonjour,
D'abord merci pour ta réponse mais je ne la comprends pas du tout,
comment as tu trouvé tes "familles de courbes caractéristiques" ? pourquoi y en a t il deux ?
Il me semblait qu'il ne pouvait y avoir deux familles que dans le cas d'une EDP d'ordre 2 or nous sommes à l'ordre 1 ?
Je ne comprends pas également comment tu obtiens la solution générale de l'EDP ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Je suppose que le modérateur pourra reporter la page corrigée dans le premier message et supprimer ce qui doit l'être.

Ce serait plus facile si vous utilisiez le Latex du site (avec ses défauts) plutôt que des images.

[JJacquelin]

Bonjour,
D'abord merci pour ta réponse mais je ne la comprends pas du tout,
comment as tu trouvé tes "familles de courbes caractéristiques" ? pourquoi y en a t il deux ?
Il me semblait qu'il ne pouvait y avoir deux familles que dans le cas d'une EDP d'ordre 2 or nous sommes à l'ordre 1 ?
Je ne comprends pas également comment tu obtiens la solution générale de l'EDP ?

Salut,
tu trouveras de nombreux cas d'application de cette méthode par exemple dans cet article :
https://www.math.ualberta.ca/~xinwei...cteristics.pdf
Bien sûr, if faut apprendre les bases. En particulier, voir l'équation (2.3)