Exercice sur une fonction non-continue intégrable

[invite41916546]

Bonjour à tous,
Dans un exercice je dois prouver que la fonction suivante est intégrable :
"f définie sur [0, 1] par f (x) = 1/b si x est s’écrit comme fraction réduite x = a/b pour des entiers a, b ≥ 1 et f (x) = 0 sinon"

Il est évident que pour toute subdivision de l'intervalle la somme de Darboux inférieure est égale à 0, mais je n'arrive pas à trouver une suite de subdivisions (dont la finesse tend vers 0 quand n--> infini) pour laquelle la somme de Darboux supérieure tend vers 0 quand n -> infini. J'ai essayé aussi de montrer que pour tout E>0, on peut trouver une subdivision telle que la somme supérieure < E, mais sans succès.

Auriez-vous une idée de comment trouver une subdivision qui fonctionne ?

Merci d'avance.
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[JB2017]

Bonjour
Ta fonction est égale à 0 presque partout donc elle est intégrable et son intégrale est nulle.
Je ne comprends pas ce que tu veux faire avec tes sommes de Darboux?

[invite41916546]

Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
f est non-nulle sur une infinité de points donc cela ne me paraît pas évident. Je cherche justement à le montrer en prouvant que sup(sommes de darboux inférieures) = inf(sommes de darboux supérieures) = 0.

[JB2017]

Je suis bête c'est l'intégrale de Rieamnn qu t'intéresse?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite41916546]

Oui exactement

[JB2017]

Soyons clair
Je ne sais pas si tu t'intéresses à l'intégrale de Lebesgue ou de Riemann
De toute façon la mesure des rationnels est nulle. En effet un singleton est de mesure nulle et Q est de mesure nulle comme union dénombrable de mesure
nulle. Donc pour ma réponse c'est terminé.
Maintenant est-ce qu'elle est Riemann intégrable c'est une autre question, je ne sais pas. J'ai envie de dire et l'intégrale vaut zéro.
Je réfléchis un peu

[invite41916546]

Pardon j'aurais dû préciser, le professeur a bien indiqué qu'il s'agissait de l'intégrale au sens de Riemann.

[JB2017]

A mon avis tu peux te contenter d'une subdivision régulière
ensuite.

i/n\leq a/b \leq (i+1)/n implique

1/b \leq (i+1)/n \times 1/a

[invite41916546]

J'ai essayé avec celle-ci, mais quand on fait tendre n vers +infini la somme de Darboux supérieure ne tend pas vers 0 !

[JB2017]

Ensuite dans une première étape j'essaierai de choisir x_i=i/n et de calculer la somme de Darboux correspondante (pus précisément montrer qu'elle tend vers 0).

[JB2017]

De toute façon si tu prends n premier

f(j/n)=1/n. Donc ta somme de Darboux vaut à peu près 1 et ne converge pas vers zéro donc f n'est pas riemann intégrable.

[invite41916546]

Bonjour,
Puisque f n'est pas continue, je ne pense pas que l'on puisse en déduire cela. En plus f est bien Riemann intégrable car l'exercice me demande de le prouver.
Est-ce que quelqu'un aurait une autre idée ?

[JB2017]

Comment ça! Je donne des sommes de Darboux pour lesquelles le pas de la subdivision tend vers 0 et dont certaines valent 0 et d'autre tendent vers 1.
Cela démontre que ta fonction n'est pas Riemann Intégrable.
Il faut savoir ce qui est le plus important. Une démonstration ou bien une affirmation sans démonstration.

[invite41916546]

Je me trompe peut-être, mais dans notre cours il est bien indiqué : "si f est continue sur [a, b] et qu'on prend une suite de subdivisons telle que la finesse tend vers 0, alors la suite de sommes de Darboux converge vers l'intégrale de f entre a et b". A mon avis l'hypothèse de la continuité est nécessaire, non ?

[minushabens]

non elle est suffisante mais pas nécessaire.

[JB2017]

ReBonjour, Oui tu te trompes du point de vue logique.

Tu me donnes une fonction et tu me demandes si elle est Rieaman intégrable.

Je te montre que la fonction n'est pas Rieamann intégrable ceci car elle ne vérifie pas la définition.

Et ici pour montrer ton désaccord tu me sors une propriété des fonctions Rieman-intégrable et continue.
D'abord ce n'est qu'une conséquence de la définition mais ce n'est pas la définition.

[invite41916546]

Pardon oui je me suis trompé. Mais je ne comprends pas en quoi trouver des sommes de darboux supérieures qui tendent vers des valeurs différentes prouve que la fonction n'est pas intégrable (vu qu'elle n'est pas continue).

[invite41916546]

Je ne vois pas en quoi on a montré qu'elle n'était pas Riemann intégrable. Pour le montrer il faudrait prouver que inf(sommes de darboux supérieures) est différent de sup(sommes de darboux inférieures) pour toutes les subdivisions possibles. Or en prenant une suite de subdivisions dont la finesse tend vers 0, on ne prend pas toutes les subdivisions en compte.

[Tryss2]

@JB2017 : il y a une erreur dans ta démonstration

Les points de discontinuité de cette fonction est Q, qui est de mesure de Lebsegue nulle, donc d'après le Critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann, cette fonction est Riemann intégrable.

D'ailleurs, si sup f(x) sur [i/n, (i+1)/n] est égale à 1/n, alors la somme de Darboux associée vaut 1/n (et pas 1)


Sinon, pour démontrer le résultat manuellement, je pense qu'il faut remarquer qu'il y a au plus :
1 intervalle ou le sup est 1
1 intervalle ou le sup est 1/2
2 intervalles ou le sup est 1/3
3 intervalle ou le sup est 1/4 (en fait, il y en a au plus 2)
...
n-1 intervalles ou le sup est 1/n

Donc, par exemple, si j'ai 5 intervalles de largeur 1/5, la somme de Darboux supérieure associée serra majorée par 1/5( 1 + 1/2 +1/3 + 1/3 + 1/4)... et en gros, on se retrouve à montrer que la somme

converge vers 0, où . Ce qui est immédiat par le Lemme de Cesàro.


Pour les partitions non régulières, la rédaction me parait plus complexe

[invite41916546]

Merci beaucoup Tryss2, ta démonstration est très claire !

[Schrodies-cat]

La démonstration de Tryss2 fait appel à l'intégration de Lebesgues, Il me parait souhaitable d'en donner une démonstration élémentaire.
Idée:
Soit c un nombre entier, les rationnels de [0 , 1] qui s'écrivent sous la forme a/b avec b<c sont en nombre fini. (à vérifier)
etc

[Tryss2]

La démonstration de Tryss2 fait appel à l'intégration de Lebesgues, Il me parait souhaitable d'en donner une démonstration élémentaire.
Idée:
Soit c un nombre entier, les rationnels de [0 , 1] qui s'écrivent sous la forme a/b avec b<c sont en nombre fini. (à vérifier)
etc

Petite remarque : le critère que j'énonce ne fait pas spécialement appel à l'intégrale de Lebesgue, et on peut parfaitement démontrer "Ensemble des points de discontinuité dénombrable + borné" => "f Riemann intégrable sur [a,b]" avec les outils classiques

[minushabens]

par contre il faut à mon avis un argument pour prouver que l'ensemble des points de discontinuité est dénombrable.

[Tryss2]

Oui, il faut montrer que cette fonction est continue en tout point irrationnel.

Si on a un x irrationnel, et x_n une suite qui converge vers x alors il n'est pas trop dur de montrer que, quelque soit N, x_n < 1/N à partir d'un certain rang (grâce à l'argument que tu donnes plus haut)

[JB2017]

Bonjour évidemment je me suis trompé ayant oublié de multiplier par la largeur de l'intervalle 1/n
Mais je voudrais dire à Damienflo que tous ses arguments pour dire que mon raisonnement est faux ne tiennent pas.
En effet j'ai fait une erreur de calcul ce qui m'amène à un résultat surement faux. Mais ici encore supposons que j'exhibe une somme de Darboux supérieure qui tend vers 1 (ou qui vaut 1) et la somme de Darboux
inférieure qui tend vers 0 (ou haut zéro) alors que le pas h=1/n tend vers 0 la fonction n'est pas intégrable de Riemann.
Attention tout de même à ta logique.

[JB2017]

Rebonjour encore.
Une remarque pour la démonstration à mon avis, il y a deux alternatives selon les connaissances du poseur de la question :
1. Effectivement, si on admet le résultat une fonction dont l'ensemble des points de discontinuité est de mesure nulle, alors il resterait à montrer (correctement) que f est continue en tout les irrationnels pour en déduire que f est Riemann intégrable.

2. Sinon on peut faire une démonstration uniquement en partant de la définition: (de toute façon j'ai l'impression que c'est ce qui est demandé pour confirmer l'énoncé). Voici une démonstration ( à mettre en meilleure forme si possible) qui est
basée sur la simple constatation que l'ensemble des x tel que f(x)\leq c>0 et en nombre fini.

Démo:
Il est clair que toute somme de Darboux inférieure vaut 0.
Il faut donc montrer que pour tout , il existe une somme de Darboux sup
(noté I+(f) ou I+) telle

Soit donc les éléments ds [0,1] tels que
On considère alors des intervalles fermés, centrés en les est de largeur
suffisamment petite de sorte que la mesure totale de leur réunion soit plus petite que .
On complète c'est par des intervalles pour obtenir une "partition" de [0,1].

La somme associée à cette subdivision est donc majorée par

C.Q.F.D et on a montré que l'intégrale vaut 0

rem Dans la première démo il manque encore uneexplication pour dire que l'intégrale vaut zéro.
D'où le résultat et l'intégrale vaut zéro.

[Schrodies-cat]

La démonstration de Tryss2 fait appel à l'intégration de Lebesgues, Il me parait souhaitable d'en donner une démonstration élémentaire.
Idée:
Soit c un nombre entier, les rationnels de [0 , 1] qui s'écrivent sous la forme a/b avec b<c sont en nombre fini. (à vérifier)
etc

Bon, je voulais juste donner une indication pour la démonstration, mais il me semble nécessaire de préciser mon "etc".

La fonction f est minorée par la fonction constante nulle.

Soit c un naturel non nul,
Je considère la fonction g_c définie ainsi sur [0 , 1]:
Pour un rationnel s'écrivant sous forme irréductible a/b avec b<c, elle vaut 1 et vaut 1/c ailleurs .
g_c vaut 1/c sauf en un nombre fini de points, c'est donc une fonction en escalier dont l'intégrale vaut 1/c.
D'autre par, g_c majore f.

f est donc encadrée par une fonction en escalier d'intégrale 0 et une fonction en escalier d'intégrale 1/c pour tout c > 0 .
Donc f est intégrable d'intégrale nulle.

[invite41916546]

A mon niveau (1ère année post-bac) la démonstration en partant de la définition me paraît plus claire ; même si je comprends l'idée de la seconde preuve. Merci à tous pour vos explications.