une fonction mesurable

[soufianmath]

Bonjour et sallut a tous; svp quelqu'un qui capable de m'aider pour résoudre cet exercice et Merci d'avnace...

soit ƒ une fonction de ℝ dans ℝ .
1) Montrer que ƒ est mesurable si et seulement si pour tout q∈ℚ , l’ensemble {x : f(x)>q} est mesurable .
2) Soit x₀ un réel , montrer directement que l’application x → ƒ(x+x₀) est mesurable .
3) Meme question pour l'appliaction x → ƒ(kx) ou k⋲ℝ .
4) soif ƒ une fonction intégrable, montrer que la fonction x → ƒ(x+x₀) est intégrable et que ∫ℝ ƒ(x)dλ ₌ ∫ℝƒ(x+x₀)dλ .on commencera par demontrer la relation pour les fonctions indicatriaces .
5) soif ƒ une fonction intégrable, montrer que la fonction x → ƒ(kx) est intégrable et que ∫ℝ ƒ(xk)dλ ₌∣k∣ ∫ℝƒ(x)dλ .
6) Etudier la mesurabilité et l'intégrabilité de la fonctions definie sur ℝ² par :

ƒ(x,y)= \frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\mathbf{max}\funca pply(\mathbf{x}^3,\mathbf{y}^3 )} si x≥1,y≥1 ƒ(x,y)=0 ailleurs .
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[gg0]

Bonjour.

Commence par lire les règles du forum : http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html.

Puis il faudra que tu expliques le sens de cet énoncé incohérent : D'après la première phrase, f est quelconque, d'après l'énoncé du 2, il faut connaître f : "directement" n'a pas de sens pour f quelconque; et si f est quelconque, non mesurable, il n'y a pas de raison que ce soit vrai.
Enfin tu expliqueras ce que tu as fait (même si ça n'a pas abouti).

Cordialement.

[soufianmath]

Oui tu as raison j'ai oublié de dire que f est mesurable a partir de question 2)
et apart ça je ne pense pas qu'il ya une erreur seulement que l'exercice un peu compliqué , j'ai essayer avec lui mais sans résulta si vous avez des idées aide-moi svp Et merci

[minushabens]

tu dois savoir que la composée de deux applications mesurables est mesurable (avec les bonnes tribus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"Enfin tu expliqueras ce que tu as fait (même si ça n'a pas abouti)."
" j'ai essayer (?) avec lui mais sans résultat"

NB : Il y a une partie évidente dans la question 1.

[soufianmath]

donc la qsuestion 1) est presque evidente
et pour la question 2) et 3) en utilisant la composition de deux fonction mesurables
en effet pour 2)

on suppose que ƒ est mesurable et on pose h(x)=x+x₀ qui est mesurable car elle est continue
et comme ƒ(x+x₀)=ƒ∘h(x) alors elle est mesurable comme composition de deux fonctions mesurables ..
...et donc ça sera la meme chose pour la question 3)la qst

et pour la qst 4) vous avez une idée ?

(Merci beaucoup pour votre aide )

[gg0]

"donc la question 1) est presque évidente"
Ce n'est pas ce que j'ai dit, et comme tu ne dis rien de ce que tu as fait ...

Pour la question 4, si j'avais à la faire, je partirais de la définition de "intégrable".

Cordialement.

[soufianmath]

pour 1) on suppose que f est mesurable alors l'ensemble {x : f(x)>q}=f(-1)(]q,00[)∈B(ℝ ) donc mesurable car ]q,00[ engendre la tribu borélienne
réciproquement si {x : f(x)>q} est mesurable alors f(-1)(]q,00[)∈B(ℝ ) et puisque ]q, [ engendre la tribu borélienne alors f est mesurable

[Schrodies-cat]

donc la qsuestion 1) est presque evidente
et pour la question 2) et 3) en utilisant la composition de deux fonction mesurables
en effet pour 2)

on suppose que ƒ est mesurable et on pose h(x)=x+x₀ qui est mesurable car elle est continue
et comme ƒ(x+x₀)=ƒ∘h(x) alors elle est mesurable comme composition de deux fonctions mesurables ..
...et donc ça sera la meme chose pour la question 3)la qst

et pour la qst 4) vous avez une idée ?

(Merci beaucoup pour votre aide )

Il me semble qu'il s'agit de démontrer 2) et 3) en utilisant 1).

Tu ne dois utiliser que des résultats que tu est censé connaître à ce stade du cours. Je ne sais pas ce qu'il en est actuellement.