A paper about tensors ?

[Soel46]

Bonsoir à vous,
N'auriez-vous pas un traité sur les tenseurs? Un papier vraiment bien.

Merci.
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[Deedee81]

Salut,

Ca dépend un peu de ce que tu cherches (intro ou truc avancé ? Très abstrait ou plus appliqué ? Orienté mathématicien pur ou physicien ? Etc....)
J'ai lu : https://www.amazon.fr/calcul-tensori...lcul+tensoriel
Qui m'a énormément plu.

[Soel46]

Bonsoir,
Merci monsieur, mais oui je cherche un truc destiné aux étudiants de mathématiques. Un traité si possible, sur le sujet. Qui introduit la notion, et nous emmène marcher à travers le monde des tenseurs (c'est vrai que le temps a passé depuis mon post et que j'ai mûri un peu, je sens un peu mieux le champ qu'ouvre la notion...).
J'aimerais aussi noter l'importance de la pratique dans l'étude des mathématiques. Certaines notions sont si générales qu'y entreprendre une réflexion ontologique sur les êtres mathématiques qu'elles engendrent n'a d'effet que de réduire notre vision sur le sujet.
Par exemple quand j'ai commencé à être conscient des choses en seconde, je croyais comprendre ce qu'est un vecteur en tant que vecteur... Mais en première j'ai compris que c'est moins restrictif de penser un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

[minushabens]

c'est moins restrictif de penser un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

pourquoi? il y a une autre façon de penser aux vecteurs?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

pourquoi? il y a une autre façon de penser aux vecteurs?

En 2nde, on peut le voir comme "une flèche qui sert à indiquer une direction et une quantité/intensité" par ex sans avoir vu vraiment le concept d'espace vectoriel.
Un peu comme on peut penser "un nombre" pendant longtemps sans connaitre vraiment la différence entre Q et R, leurs définitions et propriétés...

[minushabens]

hé hé c'était de la provoc'. En seconde en effet on voit les vecteurs comme des couples de points du plan affine et la loi d'addition comme la règle de parallélogramme. Puis (en terminale?) on introduit les espaces vectoriels comme de pures structures algébriques, comme les anneaux ou les corps. On ne peut pas jouer avec les étudiants mais je me suis souvent demandé combien seraient capables de voir l'aspect géométrique si on ne leur présentait que l'approche algébrique.

[eudea-panjclinne]

Minushabens@
Les programme ont changé en seconde depuis les temps bénis où on y faisait des Mathématiques, aujourd'hui un vecteur est une flèche comme le dit pm42 ou un couple de coordonnées. Quant aux espaces vectoriels et autres structures en terminale cela fait belle lurette qu'on en parle plus.

[Soel46]

Avec les tenseurs encore ça monte d'un cran (peut-être de cent, même) en abstraction... Si déjà c'a été difficile de sentir la notion de vecteur, celle de tenseur alors... Un tenseur est un élément d'un espace vectoriel, un tenseur est donc un vecteur. Aussi, un vecteur est un élément d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels, donc un vecteur est un tenseur. Par ailleurs, la notion de tenseur est plus générale (plus englobante) que celle de vecteur bien que l'on décrive des fois (pour comprendre) des tenseurs par des vecteurs.
Je ne connais pas la théorie des catégories, mais peut-être résout-elle le problème de hiérarchisation de tous ces trucs... Pour l'instant, je préfère considérer que ces notions sont des qualificatifs qu'on donne à certains êtres mathématiques, ce sont des propriétés finalement.
Et qu'un tenseur (ou vecteur) pourrait difficilement être défini par lui-même en tant que tenseur!

[gg0]

Heu ... à priori, pas besoin de tenseurs pour définir clairement les espaces vectoriels et leurs vecteurs. Prière de ne pas tout mélanger !
De même, ne pas confondre les vecteurs du plan (les premiers qu'on rencontre dans la scolarité) avec la notion plus générale de vecteur. De plus, le calcul tensoriel est apparu bien avant qu'on généralise l'enseignement de l'algèbre linéaire. Pour les besoins de la géométrie.

Cordialement.

[Soel46]

Précisément ce que je cherche c'est une vision synthétique.
Quand on reste dans un cadre bien défini, quand les choses sont précisées, rien n'est ambigu du moment que l'on sait de quoi on parle. C'est bien cela qu'on a toujours fait, c'est bien dans un tel cadre qu'on nous a toujours enseigné les choses.
Mais vu qu'un vecteur du plan est un vecteur, qu'une fonction à valeurs dans un espace (dit être) vectoriel est un vecteur, ce que j'essaye de comprendre c'est quelle pourrait être la "forme" de la réponse à la question: "Un vecteur, qu'est-ce?" une réponse autre de dire il vérifie les axiomes ci et ça... Et donc en quoi est-ce naturel de généraliser la notion à des espaces autre que l'espace euclidien usuel de dimension 3...

[Deedee81]

Salut,

une réponse autre de dire il vérifie les axiomes ci et ça... Et donc en quoi est-ce naturel de généraliser la notion à des espaces autre que l'espace euclidien usuel de dimension 3...

Si on veut parler des vecteurs en toute généralité je vois mal comment faire autrement.
C'est justement la beauté des espaces vectoriels : extraire les principales propriétés et en faire des axiomes des espaces vectoriels.

[gg0]

Bonjour Soel.

L'algèbre linéaire généralise la notion géométrique de vecteur en retenant du calcul vectoriel d'abord les opérations de base (addition, multiplication par un scalaire) et le fait qu'on utilise pour les scalaires un corps de nombres (les réels pour les vecteurs du lycée) qui peut être n'importe quel corps. Puis ensuite, les notions de produit scalaire et produit vectoriel, d'orthogonalité et d'angle. Et des généralisations de la notion de produit scalaire, ainsi que des nouveautés, comme le produit tensoriel et les tenseurs.
Elle est maintenant utilisée pour définir la géométrie de façon axiomatique (ce qu'on ne voit pas en collège et lycée), et avoir des géométrie à 3, 2, 1 dimension, ou 4 ou 5, ... ou même faire de la géométrie dans des espaces à une infinité de dimensions, ce qui est très utile en analyse fonctionnelle.
Ce qui fait que le mot "vecteur" signifie maintenant "élément d'un espace vectoriel".

Comme tu cherches une vision synthétique (message #10), je ne peux que t'inciter à étudier l'algèbre linéaire. Il est difficile de synthétiser ce qu'on connaît mal ou pas du tout.

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Un petit détail concernant la question suivante. Je ne sais pas si ça sera utile, mais on ne sait jamais

Et donc en quoi est-ce naturel de généraliser la notion à des espaces autre que l'espace euclidien usuel de dimension 3...

Les structures d'espace vectoriels sont omniprésentes en physique (par exemple avec les espaces de Hilbert) ou en mathématique (par exemple dans les structures des algèbres). On y rencontre donc tout naturellement des espaces vectoriels de dimensions quelconques (y compris infinies) et donc il est naturel de généraliser la notion.

C'est d'ailleurs assez général comme situation, comme avec les structures tensorielles, les structures de groupes, etc.. Ca se rencontre partout et les généralisations sont donc naturelles et très importantes.

[gg0]

A noter aussi que les codes correcteurs d'erreur qu'on utilise pour des communications informatiques fiables sont des applications de l'algèbre linaire sur des corps finis.

[Deedee81]

Autre usage qui me vient en tête : en statistique, où les représentations multidimensionnelles et les vecteurs abondent.

[AncMath]

Il me semble étrange de vouloir étudier les "tenseurs". Ce que tu devrais chercher à comprendre c'est la notion de produit tensoriel qui est bien plus profonde que simplement la notion de "tenseur". Ça n'est pas une notion difficile en plus ! Pas plus que celle de somme directe ou de réunion disjointe ou de produit cartésien. Simplement on l'introduit plus tard.
Tu trouveras un excellent traitement de la notion de produit tensoriel dans la bouquin des Douady, Algèbre et théories galoisiennes.

[Deedee81]

Salut;

Il me semble étrange de vouloir étudier les "tenseurs". Ce que tu devrais chercher à comprendre c'est la notion de produit tensoriel qui est bien plus profonde que simplement la notion de "tenseur".

Les deux ne vont pas de pair ??? Je veux dire, je trouverais bizarre de parler de tenseurs sans parler de produit tensoriel. Dire "étudier les tenseurs" c'est automatiquement étudier le "produit tensoriel", non ? (ou alors il existe des cours très mauvais sur lequel je ne suis jamais tombé, tant mieux d'ailleurs

[AncMath]

Je ne dirai pas ça. Je dirai meme que y a tout un un tas de cours où ça n'est pas fait, où les tenseurs sont définis de manière ad-hoc ou avec les mains, et je dirai même que c'est une mode tenace parce qu'il y a un bloc historique qui veut qu'on présente ça comme ça. Ça peut même etre le cas de "bon cours" d'ailleurs, mais je me souviens de nombreuses présentations qui à mon avis (qui vaut ce qu'il vaut) présentent tres mal les choses, à commencer par l'article wiki lui même.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur
Mais si tu n'as eu que de "bons" cours, tant mieux !

Mais in fine, les "tenseurs" c'est a dire le calcul tensoriel sur les variétés n'est qu'une micro-application du produit tensoriel général. Il me semble tres profitable de voir la notion de produit tensoriel générale d'abord parce que ça permet de ne pas créer de faux problèmes quand on applique cela aux variétés, si c'est cela qu'on veut faire.
Mais ça n'engage que moi.

[Deedee81]

Salut,

D'accord, merci des explications. J'ai eut en effet de la chance.
(enfin bon, presque, mon premier livre de relativité générale présentait les tenseurs comme des matrices et sans la moindre larme de géométrie différentielle. Il y a des trucs vraiment à éviter).

[AncMath]

Justement je pense que c'est une bonne chose de présenter le produit tensoriel (j'insiste !) sans parler de géométrie différentielle !

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Il ne faut, peut-être, pas oublier l'origine du terme "tenseur" qui vient de ce que ces êtres géométriques sont apparus initialement en théorie de l'élasticité et, d'une façon générale en dynamique des milieux continus. Les contraintes, qui s'exercent autour des points d'un milieux élastique soumis à des efforts, sont décrites par un tenseur du second ordre, symétrique (pour assurer l'équilibre du moment des actions internes considérées). On utilise également le "tenseur de déformation" qui est aussi symétrique et se calcule avec les dérivées secondes des déplacements (représentés par un vecteur). En élasticité linéaire, le tenseur des contraintes est relié linéairement au tenseur de déformation par le "tenseur de rigidité" qui est du quatrième ordre. De même, en mécanique des fluides, on définit le tenseur des vitesses de déformation (calculé à partir des dérivés du champ des vitesses). Rappelons, pour mémoire, le tenseur électromagnétique, dans la formulation relativiste des équations de maxwell, tenseur du second ordre, anti-symétrique, défini dans l'espace-temps de Minkovski et rassemblant les "pseudo-vecteurs" champ électrique et champ magnétique. Enfin, n'oublions pas, en Relativité, le "tenseur énergie-impulsion" qui figure, au second membre des équations d'Einstein, en RG, où il décrit la source du champ de gravitation.
Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Justement je pense que c'est une bonne chose de présenter le produit tensoriel (j'insiste !) sans parler de géométrie différentielle !

Je suis d'accord. C'est d'ailleurs comme ça que je l'ai potassé (livre "le calcul tensoriel pour physicien" que j'ai cité au début).

Je voulais juste dire que présenter la RG sans géométrie diff (et sans tenseur) est une hérésie. Mais ça je ne l'ai compris que plus tard.

Il ne faut, peut-être, pas oublier l'origine du terme "tenseur" [...]

Je suis d'accord avec tes remarques historiques et physique. Mais la notion s'étant approfondie, on comprend maintenant qu'une (je ne suis pas assez prétentieux pour dire "la") méthode pédagogique utile pour apprendre ce concept est intimement liée au produit tensoriel.

Je suis aussi partisan de "voir les choses sous plusieurs angles", et les présentations physique (applications) ainsi que par les applications linéaires doivent aussi faire partie de la présentation. Même si ça peut vite devenir un peu volumineux (mais quand on aime on ne compte pas )

[jacquolintégrateur]

méthode pédagogique utile pour apprendre ce concept est intimement liée au produit tensoriel.

Bonjour
Je suis entièrement d'accord. Du reste, j'ai fait mes premières armes en calcul tensoriel avec le petit bouquin (remarquable !) de A. Lichnérowicz: "Eléments de Calcul Tensoriel" ; Collection Armand Collin. Lequel commence par introduire systématiquement le produit tensoriel. Ce que je tenais à souligner, c'est que les physiciens (ha mais tout de même !!) ont joué un rôle très important dans le développement de cette partie de la géométrie algébrique (ou de l'algèbre géométrique !!!): ils ont, en somme, beaucoup contribué à forger l'un de leurs outils parmi les plus utiles.
Cordialement