Division à base inconnue

[invite452d5a24]

Salut,

Déterminer les bases pour lesquels on a :

a) 11|1001

b) 1001|100001

Cordialement.
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[stefjm]

Je ne comprend pas la question...

[invite452d5a24]

Il faut déterminer les bases b tel qu'écrit en base b, on ait 11 qui divise 1001
Puis les bases b tel que on ait 1001 qui divise 100001

[stefjm]

Il faut déterminer les bases b tel qu'écrit en base b, on ait 11 qui divise 1001

Ça me parait facile.

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Quelque soit la base entière b>1, [1,0,0,1]/[1,1] = [b-1,1]

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Puis les bases b tel que on ait 1001 qui divise 100001

Ça me parait trop facile aussi.

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Ça n'arrive jamais
Le quotient vaut [b-1,b-1] quelque soit la base b
et le reste vaut [b,0,2] pour b>2
et le reste vaut [1,1,0] pour b=2

[invite452d5a24]

@Stefjm : bravo, tu as pris le problème par le bon bout.

[invite452d5a24]

Je l'espère un peu plus dur.
c/ Déterminer les bases b tel que : pgcd(10101,1001001)>1

[stefjm]

c/ Déterminer les bases b tel que : pgcd(10101,1001001)>1

Amusant.
Je n'ai jamais été fort en pgcd et du coup, je ne sais pas bien le montrer.

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pgcd(10101,1001001)=3 si base=3.n+4
sinon pgcd(10101,1001001)=1

??

[invite452d5a24]

@Stefjm : ok, mais reste à expliquer pourquoi ?

[stefjm]

J'ai toujours bien aimer les divisions euclidiennes mais j'ai du être traumatisé par les pgcd quand j'étais petit!

[stefjm]

J'ai une preuve.
mais pas facile quand même de voir pourquoi!

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Il suffit de calculer 1 + (3n+4)^2 + (3n+4)^4 et de factoriser par 3.
idem pour 1 + (3n+4)^3 + (3n+4)^6

Pour les autres valeurs de base, pas de factorisation en vue...

[invite452d5a24]

Ok, il manque à montrer que pour les autres valeurs on n'a pas de diviseur en commun.

[invite452d5a24]

Salut,

c/On calcule :
Il existe tel que le plus petit possible (en valeur absolue), ceci étant possible avec le théorème de Bezout.

On trouve : d=3

Pour

et on a ssi

D'où le résultat intuité par Stefjm.

N'hésitez pas si vous voulez plus de précision.

Cordialement.