Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

**Anonyme007** · 27/02/2018, 10h37

On a : $\text{[math]}$ si et seulement si : $\text{[math]}$ ?
Que signifie concrètement : $\text{[math]}$ ?

edit : Croisement avec le message de AncMath.

@AncMath : Oui, mais $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ me laisse perplexe et m’empêche de bien comprendre.

**AncMath** · 27/02/2018, 10h44

Fais un dessin, réfléchis et regarde. Je peux pas te dire grand chose de plus.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 11h13

D'accord, je fais un dessin, je prend un drapeau $\text{[math]}$ , et je regarde l'intersection d'une droite $\text{[math]}$ avec ce drapeau, alors : l'ensemble des droites $\text{[math]}$ correspondant à la liste des dimensions d'intersections avec le drapeau est $\text{[math]}$ , ( je te suis juste dans tes explications mais en réalité je ne saisis pas le lien avec la définition du cours ), pourquoi cela correspond-t-il alors à : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , on prend par exemple pour multi-indice : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , et donc : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
C'est juste ?
Mais, géométriquement, par un dessin, je ne comprends pas ce que je dois faire à l'aide d'un crayon et d'un papier. Je dessine quoi ? Il ne s'agit pas ici de dessins mais de se familiariser avec l'utilisation de l'indice $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , qui, jusqu'ici, je ne saisis pas encore bien ce qu'il désigne.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 11h40

D'accord, je fais un dessin, je prend un drapeau $\text{[math]}$ , et je regarde l'intersection d'une droite $\text{[math]}$ avec ce drapeau, alors : l'ensemble des droites $\text{[math]}$ correspondant à la liste des dimensions d'intersections avec le drapeau est $\text{[math]}$ , ( je te suis juste dans tes explications mais en réalité je ne saisis pas le lien avec la définition du cours ),

Oui, je commence à comprendre :
Parce que, comme on l'a dit au début :
si $\text{[math]}$ est générale, alors : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$
Donc, ici, l'indice : $\text{[math]}$ est celui grâce auquel on obtient la graduation successive : $\text{[math]}$ en parcourant $\text{[math]}$ .

On a : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , on prend par exemple pour multi-indice : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ , et donc : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

et donc, $\text{[math]}$ est celui grâce auquel à partir de la graduation $\text{[math]}$ mais à $\text{[math]}$ - pas en arrière près, non ? C'est à dire : $\text{[math]}$ , non ?

**Anonyme007** · 27/02/2018, 11h53

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ ( Pourquoi tu as écris $\text{[math]}$ , et non $\text{[math]}$ ? )
non ?

$\text{[math]}$ , non ? explique moi comment tu fais le calcul ? Tu ne m'as pas expliquer ça, tu m'as juste donné la solution mais sans comprendre le principe de ce calcul vite fait que tu réalises. ( Plus vite que ton ombre

)

**Anonyme007** · 27/02/2018, 12h17

Envoyé par Anonyme007

$\text{[math]}$ , non ? explique moi comment tu fais le calcul ? Tu ne m'as pas expliquer ça, tu m'as juste donné la solution mais sans comprendre le principe de ce calcul vite fait que tu réalises. ( Plus vite que ton ombre

)

Les $\text{[math]}$ sont les droites pour lesquelles $\text{[math]}$ , non ? Alors, je ne comprends pas l'utilité de ce calcul que tu fais : $\text{[math]}$ . Que représente : $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ? Je ne comprends rien de ce que tu fais, sérieusement.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 13h05

D'après tes dires : $\text{[math]}$
Parce que, dans $\text{[math]}$ , le : $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ reste inchangé, ce qui change est le $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ qui change suivant le multi-indice $\text{[math]}$ , non ?
D'où : $\text{[math]}$ , non ?

**AncMath** · 27/02/2018, 13h46

Envoyé par Anonyme007

D'accord, je fais un dessin, je prend un drapeau $\text{[math]}$ , et je regarde l'intersection d'une droite $\text{[math]}$ avec ce drapeau, alors : l'ensemble des droites $\text{[math]}$ correspondant à la liste des dimensions d'intersections avec le drapeau est $\text{[math]}$

??? $\text{[math]}$

**Anonyme007** · 27/02/2018, 13h51

Non, j'ai commis une erreur. C'est $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ ... Bref, Ne lis que le message Numéro : $\text{[math]}$ , oublie ce que j'ai écrit dans les autres messages.

**AncMath** · 27/02/2018, 13h56

Envoyé par Anonyme007

Non, j'ai commis une erreur. C'est $\text{[math]}$

Non plus. As tu fait un dessin ? Tu as déjà vu l'intersection d'une droite et d'un plan ? L'intersection d'une droite avec un espace de dimension 3 ? Ça ressemble à quoi d’après toi ?

**Anonyme007** · 27/02/2018, 14h03

Envoyé par AncMath

Non plus. As tu fait un dessin ? Tu as déjà vu l'intersection d'une droite et d'un plan ? L'intersection d'une droite avec un espace de dimension 3 ? Ça ressemble à quoi d’après toi ?

Tu parles vaguement. Tu ne fais pas de liaison avec définition de variété de Schubert. Qui est celui qui ne sait pas que :
- L'intersection d'une droite avec l'espace à trois dimension qui le contient est la droite lui meme.
- Qui ne sait pas que l'intersection d'une droite est d'un plan est soit un point soit la droite elle meme ?
Mais, ce n'est pas ça notre problème. J'ai besoin de comprendre la définition doucement en la reliant aux cas de figures que tu as cité. Mon point de repère est la définition pour ne pas me perdre.

**AncMath** · 27/02/2018, 14h07

Envoyé par Anonyme007

Tu parles vaguement. Tu ne fais pas de liaison avec définition de variété de Schubert. Qui est celui qui ne sait pas que :
- L'intersection d'une droite avec l'espace à trois dimension qui le contient est la droite lui meme.
- Qui ne sait pas que l'intersection d'une droite est d'un plan est soit un point soit la droite elle meme ?
Mais, ce n'est pas ça notre problème.

Ben si c'est exactement le problème et c'est exactement ce que tu es censé faire ici. On intersecte un espace de dimension k (F) avec un espace de dimension 1 (V_1), puis de dimension 2 (V_2), puis de dimension 3 (V_3),... puis de dimension n (V_n). Sachant que les V_1 est inclus dans V_2 lui meme inclus dans V_3 etc... et on note la liste des dimensions qu'on obtient. Puis on compare cette liste à (0,....,0, 1,2...,k) et on note les differences dans un multi-indice. C'est aussi bête que ca.

**AncMath** · 27/02/2018, 14h09

Envoyé par Anonyme007

Qui est celui qui ne sait pas que :
- L'intersection d'une droite avec l'espace à trois dimension qui le contient est la droite lui meme.
- Qui ne sait pas que l'intersection d'une droite est d'un plan est soit un point soit la droite elle meme ?

Et pourtant quand tu écris ça

Envoyé par Anonyme007

Non, j'ai commis une erreur. C'est $\text{[math]}$

tu écris qu'une droite intersectée avec l'espace de dimension 3 est un plan....
Au passage au départ tu ne prenais pas en compte le vecteur nul dans ton drapeau (qui commençait à V_1) et maintenant il y est. On peut faire les deux, mais ne navigue pas entre les deux conventions.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 14h12

Envoyé par AncMath

... un pour qui la liste est (1,1,1,2) correspond à (2, 0),

Oui, ça je le sais tu l'as expliqué plusieurs fois dans ce fil. Mais tu m'expliques comment tu as fais ce calcul là, parce qu'il ne correspond pas à ce que j'ai trouvé pour voir où je me trompe. Me filer juste la réponse sans saisir la logique de ton calcul ne m'aide pas à comprendre. C'est uniquement ça la chose qui me rebute, le reste, je l'ai compris.

**AncMath** · 27/02/2018, 14h16

Ben j'ai comparé la liste (1,1,1,2) à la liste (0,0,1,2) et j'ai vu que le 1 apparaissait 2 coup avant dans la liste de gauche, et le 2 apparaissant 0 coup avant dans la liste de gauche...

**Anonyme007** · 27/02/2018, 14h40

Envoyé par Anonyme007

Non, j'ai commis une erreur. C'est $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ ... Bref, Ne lis que le message Numéro : $\text{[math]}$ , oublie ce que j'ai écrit dans les autres messages.

Envoyé par AncMath

Et pourtant quand tu écris ça

tu écris qu'une droite intersectée avec l'espace de dimension 3 est un plan....
Au passage au départ tu ne prenais pas en compte le vecteur nul dans ton drapeau (qui commençait à V_1) et maintenant il y est. On peut faire les deux, mais ne navigue pas entre les deux conventions.

Le drapeau est : $\text{[math]}$ , non ?
Alors : Pourquoi $\text{[math]}$ ... ? eh bien, parce que, d'après moi : $\text{[math]}$ , et donc : il y'a $\text{[math]}$ zéros qui devront figurer sur la liste $\text{[math]}$ suivi des ''jumps'' $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non ? Ce n'est pas toi qui a dit au début que :

Envoyé par AncMath

Ben ce que je t'ai dit plus haut, on s'attend à ce que les dimensions aient la forme (0,0,..,0,1,2,...,k) avec n-k zéros au debut. L'ensemble décrit par le multi-indice (a_1,...,a_k) c'est celui pour lequel le saut de 0 à 1 ne s'effectue pas en n-k, mais a_1 coup plus tot, le saut de 1 à 2 ne s'effectue pas en n-k+1 mais a_2 coup plus tot etc.

C'est ce que j'applique alors.

Maintenant pour :

Envoyé par AncMath

Ben j'ai comparé la liste (1,1,1,2) à la liste (0,0,1,2) et j'ai vu que le 1 apparaissait 2 coup avant dans la liste de gauche, et le 2 apparaissant 0 coup avant dans la liste de gauche...

Ah maintenant, je comprends, je confondais le sens du mot coup que tu utilises, avec le mot saut dont il était question pour moi, c'est là où se trouvait le piège. Merci.

Mais, si on cherche à comparer ta méthode de calcul avec la définition, on a : $\text{[math]}$ , non ?

**AncMath** · 27/02/2018, 15h05

Bon deja, est ce que tu as au moins remarqué qu'a debut je parlais de la grassmanienne des 2-plans dans un espace de dimension 4, G(2,4).
Ensuite je t'ai dit d'étudier la situation d'une droite dans l'espace de dimension 3, autrement dit G(1,3).
Si dans G(2,4) on va avoir des listes de dimensions à 4 nombres, dans G(1,3) elles seront à 3 nombres. Dans G(2,4) ces nombres seront compris entre 0 et 2, dans G(1,3) entre 0 et 1. Dans les deux cas sans considerer le vecteur nul dans le drapeau, sinon les listes seront de longueur 5 et 4.
Enfin ces listes sont croissantes.

**AncMath** · 27/02/2018, 15h06

Envoyé par Anonyme007

Alors : Pourquoi $\text{[math]}$ ... ? eh bien, parce que, d'après moi : $\text{[math]}$ , et donc : il y'a $\text{[math]}$ zéros qui devront figurer sur la liste $\text{[math]}$ suivi des ''jumps'' $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non ?

Donc tu crois encore que l'intersection d'une droite avec l'espace est un plan....

**AncMath** · 27/02/2018, 15h08

Écris les liste possible des dimensions d'intesection que tu peux avoir pour une droite et les espaces d'un drapeau d'un espace de dimension 3. Tu as juste à dessiner et compter.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 15h42

Envoyé par AncMath

Bon deja, est ce que tu as au moins remarqué qu'a debut je parlais de la grassmanienne des 2-plans dans un espace de dimension 4, G(2,4) ( Donc, il y'a $\text{[math]}$ zéros, n'est ce pas ? suivi des $\text{[math]}$ jumping $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ , d'accord. )
Ensuite je t'ai dit d'étudier la situation d'une droite dans l'espace de dimension 3, autrement dit G(1,3). ( Donc, il y'a : $\text{[math]}$ zéros suivi de $\text{[math]}$ jumping, ça donne : $\text{[math]}$ . D'accord. )
Si dans G(2,4) on va avoir des listes de dimensions à 4 nombres, dans G(1,3) elles seront à 3 nombres. ( D'accord ). Dans G(2,4) ces nombres seront compris entre 0 et 2, dans G(1,3) entre 0 et 1 ( D'accord ). Dans les deux cas sans considérer le vecteur nul dans le drapeau, sinon les listes seront de longueur 5 et 4. ( Cette remarque me crée la confusion ).

Enfin ces listes sont croissantes.

Si on cherche à comparer ta méthode de calcul avec la définition, on aura : $\text{[math]}$ , non ?

Envoyé par AncMath

Écris les liste possible des dimensions d'intesection que tu peux avoir pour une droite et les espaces d'un drapeau d'un espace de dimension 3. Tu as juste à dessiner et compter.

Attend, je essayer de répondre à ça dans la suite de mes interventions ( Je suis entrain de rédiger la réponse

)

**Anonyme007** · 27/02/2018, 15h56

Envoyé par AncMath

Écris les liste possible des dimensions d'intesection que tu peux avoir pour une droite et les espaces d'un drapeau d'un espace de dimension 3. Tu as juste à dessiner et compter.

Pour : $\text{[math]}$ :
Les listes possibles des dimensions d'intersection sont :
Il y'a $\text{[math]}$ seul jump, alors je ne comprends pas pourquoi le multi-indice est de type : $\text{[math]}$ ( parce que : $\text{[math]}$ ) et non $\text{[math]}$ tout simplement ?!.
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
non ?

**AncMath** · 27/02/2018, 16h01

Je pense qu'il vaut mieux que tu t’arrêtes et que tu reprennes ça après t’être aéré la tête. Tu écris n'importe quoi.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 16h07

Pardon, c'est faux :
Pour : $\text{[math]}$ :
Les listes possibles des dimensions d'intersection sont :
Il y'a $\text{[math]}$ seul jump, alors : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
non ?

C'est de ta faute. Je suis entre deux mondes : entre la définition d'un coté et ta méthode de calcul. Les deux mondes m'étirent à sens opposé

**Anonyme007** · 27/02/2018, 16h23

Peux tu m'expliquer la méthode de calcul à partir de la définition et non à partir de comment tu vois les choses depuis ton angle d'incidence ? et pardon pour la prise de tête de tout à l'heure.

**AncMath** · 27/02/2018, 16h26

Mais de quoi parles tu ? Ma méthode et la méthode que tu as exposé dans le message 20 sont exactement les mêmes ! Je ne fais que lire la définition.

**AncMath** · 27/02/2018, 16h29

Il n'y a que ça à utiliser

Envoyé par Anonyme007

thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

le reste c'est juste une reformulation de ça.

**AncMath** · 27/02/2018, 16h34

D'ailleurs il n'y a rien a expliquer puisqu'il n'y a que des notations pour l'instant... Je ne vois pas comment expliquer une notation désolé.

**Anonyme007** · 27/02/2018, 16h59

Pardon. Dans mon cours, c'est

Thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

et non :

Thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

ça change quelque chose ?
Pourquoi, c'est équivalent à

$\text{[math]}$

Ici, $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ ... Combien de $\text{[math]}$ il y'en a ?

**AncMath** · 27/02/2018, 17h07

J'avais recitifé de moi même en fait... En fait quand y a des indices partout comme ça, il faut comprendre ce qu'on veut faire.
Ici ce qu'on veut faire je te l'ai décrit, et c'est décrit aussi dans le paragraphe que tu as cité. Je vais le repeter encore une fois.
On prend un drapeau, et on compte les intersections d'un k-plan de la grassmanienne avec ce drapeau et on regroupe les sauts par rapport à ce qu'on attendrait pour un k-plan générique dans un multi-indice qui compte les decalage de sauts.
Y a rien a rajouter.

On peut bien sur transcrire ça en formule explicite, ca donne les formules que t'as donné... mais ca ne fait que redire, de manière plus obscure ce qu'on avait deja dit de manière limpide.

**AncMath** · 27/02/2018, 17h16

Maintenant, pour faire un peu de méta-explication. Il est clair que la numérotation à base de liste de dimension est plus simple que celle à base des sauts de dimension. On voit tout de suite ce qu'il se passe dans G(2,4) par exemple quand on dit qu'un plan est de type (1,2,2,2) ou qu'il est de type (0,0,1,2). Par contre ce qui n'est pas clair avec cette numérotation ce sont les relations d'incidences entre les différentes strates que l'on défini.
La notation avec les sauts rend ceci beaucoup plus clair puisque les strates sont simplement ordonnées par l'ordre lexicographique sur les sauts. Ce qui est fort pratique.

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