équations différentielles 2nd ordre et équation caractéristique, cas critique

[sleinininono]

Bonsoir,

je cherche une démonstration différente de celle que j'ai dans mon cours pour prouver que dans le cas des E.D. à coef constants, si l'équation caractéristique n'admet qu'une solution alors les fonctions solutions sont des combinaisons linéaires de la forme : une exponentiel et variable fois exponentiel ( par exemple x . exp(x... ) ).

Dans mon cours on prend un polynome légérement différent et en faisant tendre les coefficients on trouve ces solutions.
En connaissez vous une? Je cherche une analytique et non algébrique, sans calcul de determinant ou de valeurs propres... au contraire d'ici : http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Ge...ARTICLE/1E.pdf


Je cherchais aussi comment en connaissant la démonstration dans comment faire pour retrouver ce résultat pour une équation différentielle d'ordre dans . Le fait est que je sais comment utiliser le lemme des noyaux pour la preuve dans C où le polynôme caractéristique est scindé, mais sinon je ne sais pas quoi faire des polynômes du deuxième ordre. S'agirait-il simplement d'une généralisation du cas n=2?


Merci
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[stefjm]

Cela peut se montrer par transformée de Laplace.

Polynôme à racine double en (1+p)^2, dérivée /p de -1/(1+p), d'original x.e^(-x)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...puissance_de_t

et

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ion_de_Laplace

[sleinininono]

transformation de Laplace !? Vraiment ? J'avoue n'avoir que quelques bref souvenirs de cours de SI...
serait ce possible d'avoir un aperçu de la démonstration quelque part?

merci encore

[stefjm]

Bonjour,
C'est détaillé dans les liens sur wiki que j'ai donné.
Vous pouvez aussi le faire avec la transformée de Fourier  si vous préférez, c'est le même principe.
L'idée est d'utiliser la propriété de multiplication par x coté original qui donne une dérivée par rapport à p au signe près coté transformée et il se trouve que -d/dp(1/(1+p))=1/(1+p)^2

Une racine double du polynôme caractéristique est équivalent à une multiplication par x.

Exemples :

Les phénomènes de résonance en physique qui réponde en x.sin(x) si on excite un système oscillant à sa fréquence de résonance.

La réponse critique des système d'ordre 2 avec deux racines identiques réelles qui répondent en x.exp(-x)

[A voir en vidéo sur Futura]