Père noël et dénombrement

[lmy56]

Bonjour, je n'arrive à faire une question d'un problème, pouvez-vous me donner des indices SVP?

Le problème:
Le Père Noël doit distribuer n cadeaux deux à deux distincts à n enfants (avec n∈ℕ^∗). En supposant que le Père Noël dépose les paquets au hasard, on souhaite étudier le nombre D_n de distributions qui font qu’aucun enfant n’obtienne son cadeau.
Modélisation possible : D_n correspond donc au nombre de bijections f : [[1,n]] → [[1,n]] sans point fixe, i.e le nombre de permutations sans point fixe (dérangements) de l’ensemble à n éléments [[1,n]].

1. Que valent D₁ ? D₂ ? D₃ ? Justifier. Tout schéma est le bienvenu.
D₁ = 0, D₂= 1, D₃ =2; j'ai justifié à l'aide d'un schéma.

2. A l’aide d’un raisonnement de dénombrement, prouver que, pour tout entier n ⩾ 1 : D_n+2 = (n + 1)(D_n+1 + D_n).
C'est cette question, que je n'arrive pas à faire. Pouvez-vous m'aider SVP ?

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[Médiat]

Bonjour,

Problème classique de dérangements : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post6138595

[lmy56]

Je vois toujours pas comment faire.