base de matrices orthogonales

[invited5b2473a]

Bonjour à tous,

voilà un exercice sur lequel je me penche avec quelques amis: existe-t-il une base de Mn(R) consitutée de matrices orthogonales??

Pour n=2 je pense en avoir trouvé une: on considère les rotations d'angle k/2 (1<=k<=4).

Mais ensuite?? Merci pour toutes vos suggestions

[invite0f31cf4c]

Je suis loin d'être un expert, mais j'en doute ... Au risque de dire une bétise, vu que On(R) est un groupe par la multiplication, ce n'est pas un espace vectoriel. Et puisque ce n'est pas un espace vectoriel, définir une base parait étrange.
Par contre, il doit y avoir moyen de trouver un élément générateur ou un truc comme ça ...
++ !
L.S.

[invited5b2473a]

Je ne vois pas où est le problème il suffit juste de trouver O1,...,O(n^2) dans On(R) telles que Vect(O1,...,O(n^2))=Mn(R).

[invite0f31cf4c]

Attends ... D'abord, faut vérifier que c'est possible, ça ...
Si tu verifies, tu verras que On(R) n'est pas un sous espace vectoriel de Mn(R) ... Donc à mon avis, ce n'est pas un sous espace vectoriel du tout. Très simple à vérifier ... Bien. Bah si ce n'est pas un sous espace vectoriel, y a pas moyen de définir de base, telle que l'ensemble des combinaisons linéaires des élements de cette base corresponde à Mn(R).
Voilà ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

Et pourquoi ça?? Je suis bien capable de trouver une base de Mn(R) constituée de matrices diagonalisables et pourtant l'ensemble des matrices diagonalisables n'est pas un espace vectoriel.

[invite9c9b9968]

D'autant plus qu'indian58 a exhibé une base dans qui marche bien

[invitec314d025]

D'autant plus qu'indian58 a exhibé une base dans qui marche bien

Je vois mal comment on aurait une base avec 4 rotations, les deux éléments sur la diagonale principale sont toujours égaux non ?

[invitec314d025]

Par contre avec deux rotations et deux symétries ça marche bien.

[invite9c9b9968]

Oui , toute mes excuses..

[invite2ec8adb6]

Bah si ce n'est pas un sous espace vectoriel, y a pas moyen de définir de base, telle que l'ensemble des combinaisons linéaires des élements de cette base corresponde à Mn(R).

rien n'est moins sur, car c'est faux
la base canonique de Mn(R) n'est pas un espace vectoriel, et pourtant elle contient une base de Mn(R).
Peut-être en est-il ainsi de On(R).

[invitec314d025]

Bon, en fait ce n'est pas difficile de montrer qu'il existe bien une telle base. Il suffit de constater que les matrices de la base canonique de M2(R) sont des combinaisons linéaires de matrice n'ayant qu'un élément non nul par ligne et par colonne (1 ou -1).

[invitec314d025]

Bon, en fait ce n'est pas difficile de montrer qu'il existe bien une telle base. Il suffit de constater que les matrices de la base canonique de M2(R) sont des combinaisons linéaires de matrice n'ayant qu'un élément non nul par ligne et par colonne (1 ou -1).

Il fallait bien sûr lire Mn(R).

[invite6b1e2c2e]

Salut tous,

Juste pour apporter un grain de sel, la dimension des matrices orthogonales en tant que groupe de lie est exactement la dimension de son algèbre de lie = les matrices antisymétriques, via l'exponentielle de matrice. Cela dit, je ne sais pas ce que ça apporte sur la structure d'ev engendré par le groupe orthogonal.
A mon avis, pas grand chose.
Autre suggestion : On peut regarder ce que vaut l'orthogonal de l'espace engendré par O_n(k), pour le produit scalaire tr(t(A)B). Supposons qu'on a une matrice M telle que tr(M U) = 0 pour toute matrice U orthogonale. Alors que se passe-t-il pour M ? Honnêtement, je n'en sais rien, mais je pense que c'est une bonne manière d'aborder le problème, non ?

__
rvz

[invite6b1e2c2e]

Supposons qu'on a une matrice M telle que tr(M U) = 0 pour toute matrice U orthogonale. Alors que se passe-t-il pour M ? Honnêtement, je n'en sais rien, mais je pense que c'est une bonne manière d'aborder le problème, non ?

Allez, je m'autocite un coup. Il me semble qu'en prenant des matrices U = Id, puis U = I sauf sur les lignes- colonnes (j,k) où on met 0 sur la diagonale et 1 sur (j,k) et (k,j), on obtient que
m_jj +m_kk = m_jk+m_kj
Ce qui est déjà un bon début, non ? Bon, je suis pas sûr du tout de mes calculs, que j'ai fait à la va vite, le tout en étant un peu malade donc complètement à coté de mes pompes, alors n'hésitez pas à me dire si je délire complétement...

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rvz

[invite8b04eba7]

Salut !

Une petite contribution : je choisis A une matrice antisymétrique et je regarde la fonction f(t) = tr(M exp(tA)). Avec l'idée de rvz, cette fonction est identiquement nulle (l'exponentielle d'une matrice antisymétrique est orthogonale). Sa dérivée en zéro l'est donc aussi : j'en conclut que l'orthogonal des matrices orthogonales est inclus dans l'espace des matrices symétriques (notons qu'un petit coup de décomposition polaire m'aurait sûrement donné le résultat).

[invite6b1e2c2e]

Une petite contribution : je choisis A une matrice antisymétrique et je regarde la fonction f(t) = tr(M exp(tA)). Avec l'idée de rvz, cette fonction est identiquement nulle (l'exponentielle d'une matrice antisymétrique est orthogonale). Sa dérivée en zéro l'est donc aussi : j'en conclut que l'orthogonal des matrices orthogonales est inclus dans l'espace des matrices symétriques (notons qu'un petit coup de décomposition polaire m'aurait sûrement donné le résultat).

Il n'y a pas des hypothèses pour pouvoir faire une décomposition polaire ? Je n'ai pas le Mneismé Testard sous la main, mais je pense qu'il faut que tous les mineurs principaux soient non nuls, non ? Ou alors je confonds avec autre chose ?

__
rvz

[invite8b04eba7]

Je ne crois pas. Essayons:

- Si M est inversible, on prend pour S l'unique racine carré de tMM définie positive, et U=MS^{-1} convient ;

- sinon, on procède par densité en utilisant le fait que O(n) est compact.

Donc ça a l'air de marcher sans hypothèses supplémentaires.

[invite6b1e2c2e]

Ah oui, ok. Joli !

__
rvz, mézalors pour quelle décomposition faut-il cette hypothèse bizarre sur les mineurs principaux ? LU ? L.t(L) ? Je m'y perds toujours...

[invitec314d025]

Supposons qu'on a une matrice M telle que tr(M U) = 0 pour toute matrice U orthogonale. Alors que se passe-t-il pour M ?

M est clairement nulle. Je fais un mix entre ma démo et la tienne :
Toute matrice A ayant un coefficient égal à 1 et tous les autres nuls est égal à la demi-somme de deux matrices n'ayant qu'un coefficient non nul (1 ou -1) sur chaque ligne et chaque colonne (et donc orthogonales).
Donc tr(MA) = 0, donc un coefficient de M est nul. En prenant toutes les A possibles (la base canonique), on obtient M=0.

[invite6b1e2c2e]

Merci Matthias d'avoir eu la patience de complèter ce que j'avais entamé, et de l'avoir fait si clairement.
C'est quand même joli, que les matrices orthongonales, qui forment un groupe de lie de dimesion n(n-1)/2, engendre un espace vectoriel de dimension n^2. Ca prouve au passage que l'on peut vraiment dissocier les 2 structures groupe-espace vectoriel

__
rvz