Intégration de fonctions oscillantes et rotation des axes

[invite54165721]

Bonjour,

A propos de l'intégrale I = ,
j'ai lu un article qui propose de la calculer de cette façon :

On prolonge dans C :
avec z = x +iy on a ,(son amplitude ne tend pas vers 0 pour les valeurs de R à l' infini)
Si x = -y on a dont
l'amplitude tend vers 0 quand z tend vers l'infini dans la direction de l'axe des x tourné de -45 degrés.
Cet axe est choisi comme "contour " d'intégration et I devient avec dz =
I = =
Mes question: quel est le contour complet (fonction non nulle à l'infini) , quelle est la base mathématique utilisée. pour quelles fonctions peut on utiliser de telles rotations?.
En physique on parle souvent de la rotation de Wick qui est une rotation de avec une phrase du genre on remplace t par it, on integre sur l'axe des imaginairers purs et à la fin des calculs on repasse de it à t! (merci de commenter)
L'article se termine en indiquant que ce calcul est un cas
particulier d'intégration par la méthode de "steepest descent" je n'ai pas trouvé de liens
expliquant cette méthode de calcul exact avec des exemples
merci de m'aider
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[martini_bird]

Salut,

je crois que la méthode consiste simplement à prendre un chemin d'intégration homotope au premier : la droite d'équation à la place de la droite réelle. Ceci est valable pour toutes les fonctions qui n'admettent pas de singularité dans la région délimitée par ces deux chemins.

Tu peux compactifier et voir la chose sur la sphère de Riemann : si j'appelle le lacet formé par la droite réelle et "orienté dans le sens négatif", l'intégrale est nulle si f n'admet pas de singularité dans la région délimitée par (théorème des résidus).

Cordialement.

[invite54165721]

Salut Martini,

Ca me semble trop beau pour être vrai:
Sur l'axe d'angle +pi/4 (même homotopie) on a dont l'intégrale diverge
J'ai retrouvé le lien c'est http://galileo.phys.virginia.edu/cla...atPhase101.htm
ils indiquent bien une méthode existant pour intégrer

[martini_bird]

Salut,

en effet l'absence de singularités ne garantit pas la validité de la méthode.

Mais si en outre l'intégrale converge sur le nouveau contour, c'est peut-être suffisant. En regardant ce qui se passe sur les compacts et en passant à la limite, on doit pouvoir donner une démonstration, non ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

L'intégrale sur un axe tourné de de l'intégrale citée plus haut est elle est donnée par la formule d'intégation des gaussiennes qui est valable pour non nul avec une partie réelle non négative. Cette formule (non applicable entre 0 et pi/4 ) donne la même valeur entre 0 et -pi/4.
il s'agit d'une paticularité des intégrales gaussiennes
(j'espérais une propriété des intégrales compleses).

Si quelqu'un a des notions sur le champ d'application de la rotation de Wick (+pi/4)

merci

[invite54165721]

ps il y a un r en trop avant le dr.