Bonjour à tous,
Je dois résoudre cette équation :
z^2 + 2iz - 2 = 0
J'ai utilisé la méthode qui consiste à poser z = a+ib pour ensuite rassembler les parties réelles et imaginaires de mon équation puis d'obtenir le système suivant :
a^2 - b^2 - 2b - 2 = 0
2a (b+1) = 0
Je suis un peu embêtée par rapport aux combinaisons de solutions que je dois trouver.
J'aimerai savoir comment procéder pour finir mon exercice, ainsi que les solutions que je suis supposée obtenir.
Je vous remercie !
salut !
je te donne une méthode qui m'a sauvé pour résoudre ce genre d'équations, tu fais un discriminant classique !
(si tu veux des précisions, une recherche classique sur google suffit : http://lescop.gmp.free.fr/IMG/pdf/trinome_complexe.pdf )
Donc tu calcules ton discriminant, tu notes petit delta ta racine complexe et tu la mets dans tes deux solutions.
Il faut comprendre deux choses, premièrement ton polynome A FORCEMENT deux solutions (sauf si il est nul, mais bon sans perte de généralités...)
Deuxième chose, la racine est définie presque bien sur le plan complexe. En deux mots, il y a surtout un problème de continuité sur un demi axe du plan complexe, les réels négatifs. Mais c'est pas fondamentales pour les calculs ici : si tu avais un discriminant juste négatif (genre delta = -3), tu peux utiliser tes résultats classiques sur les réels avec le passage -1 = i^2. Donc quand tu voudras calculer le petit delta, égale à racine de delta, tu trouveras toujours deux solutions conjuguées. La difficulté va venir quand tu souhaiteras les calculer (et c'est là où tu peux utiliser la méthode sur laquelle t'es parti). Mais là encore, moi je préfére utiliser simplement la forme exponentielle et d'appliquer la racine.
Pour ta méthode, je ne me rappelle comment on pourrait faire (mais ça doit se faire). Plutôt je me rappelle d'avoir vu en sup une méthode consistant à trouver sans passer par la forme exponentielle la racine d'un nombre (et ça ressemble à ce sur quoi t'es parti).
Tu calcules petit delta qui est un nombre complexe :
d = x + iy
Or d^2 = a+ib (le nombre que t'as pris à la racine)
Donc tu as ces trois équations (suffisante pour déterminer aisément ton système) :
x^2-y^2 = a
2xy = b
et grâce à l'égalité des normes : x^2 + y^2 = SQRT( a^2 + b^2)
Sinon, ça reste un système à deux équations, deux inconnues, tu peux le résoudre qu'avec deux équations. Pour cela, va voir l'exemple 2 du pdf.
Voila, bonne chance pour tes exos
P.S. dans ton cas le résultat est très simple, le discriminant est positif...
Merci beaucoup ! Je ne sais même pas pourquoi je n'ai pas pensé à la méthode classique du discriminant
J'ai trouvé les solutions
-i-1
-i+1
Qui me semblent correctes
Bonne soirée !
Dans un cas comme celui là, on peut utiliser la méthode du discriminant "sans le dire", c'est à dire en générant les termes en z² et z dans une expression au carré :
z² +2iz -2 = (z+i)² - 1 = (z+i-1)(z+i+1)
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Voici une autre réponse intéressante
Merci beaucoup !
