Intégrale de Cauchy

[le fouineur]

Bonjour à tous,

Je tenais à vous exposer un problème qui me tient à coeur depuis maintenant plusieurs mois:il s' agit de la résolution d' une intégrale généralisée qui peut se traiter par la méthode de l' intégale de Cauchy:

Intégrale de 0 à l' infini de [(x*Sin(x))/(x^2+1)^2]

Cette intégrale que j'ai récupérée sur un site de mathématiques n'admet pas de primitive simple,de plus la fonction à intégrer ne garde pas un signe constant sur l' intervalle d' intégration.Cette intégrale n' est pas corrigée sur le site concerné et je serais curieux de voir comment on peut mettre en oeuvre l' intégrale de Cauchy pour cet exemple précis (et comment on peut montrer la convergence de cette mème intégrale par la mème occasion)
Si quelqu'un pouvait me suggérer une démonstration complète pour la résolution de cette intégrale,je lui en serais très reconnaissant.
Prenez votre temps pour réfléchir,merci d' avance pour vos réponses.

Cordialement le fouineur
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[GuYem]

Bonjour.

Quelques éléments qui me viennent à l'esprit :

-La fonction est en O(x^3) à l'infini, donc intégrable.

-En 0 elle est équivalente à x^2 donc intégrable aussi.


J'ai peur de ne pas savoir ce que tu entends par "intégrale de Cauchy".

[invite8b04eba7]

Salut !

Je pense qu'il entend par là une formule des résidus. L'idée qui me vient tout de suite, c'est d'intégrer la fonction complexe zsin(z)/(z^2+1)^2 sur un contour formé du segment [-R,R] et d'un demi cercle de diamètre ce segment. Par la formule des résidus, cette intégrale vaut le residu de f en i, et si on arrive à montrer que le bout intégré sur le cercle va tendre vers 0 quand R tend vers l'infini, on trouve la valeur de l'intégrale cherché. Plus précisément,

Sauf que là, j'ai l'impression que le résidu vaut zéro, donc aucune chance que ça fonctionne avec ce contour.

Sinon, peut-être que l'on peut développer sin en série entière dans l'intégrale ?

[invite35452583]

Sauf que là, j'ai l'impression que le résidu vaut zéro, donc aucune chance que ça fonctionne avec ce contour.

Pourquoi ça ne fonctionnerait pas avec ce contour, je ne suis pas sûr de moi mais :
1) la fonction intégrée peut avoir une intégrale nulle, et vu sa forme ce ne serait pas étonnant ;
2) tout ce qui précède me semble correct ;
A préciser que la fonction intégrée est paire donc
Ce qui me semble manquer c'est la majoration de la fonction sur le demi-cercle pour que l'intégrale sur cette partie du contour converge vers 0 quand R tend vers +infini. Et ça je ne sais plus le faire proprement (il y a un traitement classique du sinus complexe mais lequel?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec8adb6]

Bonjour.
Quelques éléments qui me viennent à l'esprit :
-La fonction est en O(x^3) à l'infini, donc intégrable.
-En 0 elle est équivalente à x^2 donc intégrable aussi.

ce ne serait pas plutot en O(1/x^3) ?
en 0, la fonction est continue.
homotopie, j'ai l'impression que ton 2 est mal placé

[martini_bird]

Salut,

après une petite intégration par partie, l'intégrale devient



A mon humble avis, ce sera plus simple à manipuler...

Cordialement.

[invite8b04eba7]

Salut !

Et du coup, c'est grosso-modo la tranformée de Fourier de 1/(x^2+1) qui est (comme tout le monde sait) quelque chose qui ressemble à exp(-|t|).

Remarquons que pour démontrer ça, on utilise la formule de Cauchy, donc ça sert à rien.

Mais bon, pour le fouineur, la formule que j'ai écrite plus haut va cette fois fonctionner : le résidu, c'est 1/2 *e^{-1} et le terme intégré sur le demi-cercle se calcule, il est en 1/R donc tend vers 0.

[martini_bird]

le résidu, c'est 1/2 *e^{-1}

Manque pas un "i" quelque part ? (la valeur de l'intégrale est réelle)

[le fouineur]

Bonsoir à tous et merci pour vos réponses,

Je n' ai pu vous répondre plus tôt car je suis actuellement en déplacement dans l' est.

Je vous ai prévenu, cette intégrale n' admet pas de primitive simple et mathematica l' exprime sous forme de quatre fonctions "sinus intégral".La seule voie qui me parait envisageable, c'est la formule des résidus.

Je vous souhaite bon courage pour la suite

[invite8b04eba7]

Manque pas un "i" quelque part ? (la valeur de l'intégrale est réelle)

Oui tu as raison : le résidu en i de la fonction cos(x)/(x^2+1), c'est cos(i)/2i = e^{-1}/2i.

Sinon, pour en revenir à mon histoire de Fourier, il est facile de calculer

La formule d'inversion de Fourier me dit alors que

Donc je pense que l'intégrale cherché vaut .

[le fouineur]

Bonjour doudache,

Tu as trouvé un résultat approchant pour mon intégrale mais ce n'est pas encore sa valeur exacte:cherches encore,tu n'est pas loin

Bon courage,

Cordialement le fouineur.

[invite8b04eba7]

Salut !

Tu as trouvé un résultat approchant pour mon intégrale mais ce n'est pas encore sa valeur exacte:cherche encore,tu n'es pas loin

Bah, j'ai juste oublié le facteur 1/2 de martini_bird. Je dis donc que c'est et c'est mon dernier mot.

J'espère que tu as compris le fonctionnement du calcul d'une intégrale par la méthode des résidus, je ne sais pas si j'ai été très clair.

[le fouineur]

Merci pour ta réponse, doudache

La valeur exacte de cette intégrale est: Pi/4*e
Je débute en analyse complexe et la méthode des résidus
est encore floue pour moi.Pourrais-tu donc reprendre la démonstration par étapes et en détaillant la méthode du choix de la fonction à intégrer et celle du choix du contour à utiliser.
Je ne dispose actuellement que de cours sur l' analyse complexe et pas d' exercices corrigés en détail.Avec une recherche par Google, je n'ai pas pu trouver de sites ou des exos seraient corrigés et commentés...

Alors quand tu auras le temps, explicite ta méthode pour cet exemple,merci d'avance

cordialement le fouineur

[invite8b04eba7]

Résumons :

Tu veux calculer l'intégrale de la fonction xsin(x)/(x² +1)².

Première étape : simplification de l'intégrale.

La quantité x/(x² +1)² apparait être la dérivée d'une fonction connue, donc c'est toujours ça de pris, tu fais une intégration par parties pour trouver

Deuxième étape : choix de la fonction à intégrer.

L'intégrale que tu souhaites calculer est maintenant celle de la fonction f(x) = \cos(x)/(x²+1). Or cette fonction existe aussi pour des valeurs complexes : je la note encore f(z) = \cos(z)/(z²+1). C'est une fonction holomorphe sur C\{i,-i} et en ces points la singularité n'est pas essentielle, c'est à dire qu'il existe un entier n tel que (z-i)ⁿf(z) soit holomorphe au voisinage de i (et de même en changeant i en -i).

Ainsi, ta fonction est méromorphe sur C, les pôles de cette fonction sont situés en i et -i et ils sont d'ordre 1 (c'est-à-dire que le plus petit n qui convient est 1). C'est typiquement le cas de fonctions du type g(z)/P(z), où P est un polynôme, et g une fonction holomorphe sur C.

La formule des résidus te dit alors que pour tout chemin dans C, tu as

Le résidu de f en un point a, c'est le coefficient de 1/(z-a) dans le développement asymptotique de f au voisinage de a. Par exemple, on a, au voisinage de i,

où h est une fonction bornée. Ainsi, on a

Troisième étape : choix du contour.

Alors là, il n'y a pas de méthode magique. Déjà, il faut que ton contour contienne l'axe réel puisque c'est là où l'intégrale nous intéresse. Parfois on prend un contour rectangulaire (pour prouver l'indépendans de la partie imaginaire dans une fonction), ou demi-circulaire. Ici, on prend le demi-cercle de rayon R, paramétré par Re^it, t allant de 0 à pi, et avec le segment [-R,R] paramétré par t. Cela donne

Quatrième étape : calculs ou majoration.

Le bout qui pose problème est maintenant :

Je dit que pour R tendant vers l'infini, cette intégrale est équivalente à

Bon là, je n'ai pas trop le temps de regarder, mais il faut montrer que cette intégrale tend vers 0 en l'infini.

En combinant tous les résultats tu dois obtenir la valeur cherchée.

Pour t'entraîner, je te conseille de calculer en suivant la même méthode.

Bon courage (et désolé pour la preuve incomplète) !

[le fouineur]

Bonjour doudache,

Je te remercie pour ta réponse détaillée

Je vais étudier avec soin toutes les étapes de ton explication dès que je serais rentré chez moi et je te tiendrais au courant....

Cordialement le fouineur