Probabilité tirage sans remise

[jall2]

Bonjour,

Une urne contient 10 boules. 9 des boules sont blanches et 1 est noire.
Le but du jeu est de tirer la boule noire. On a droit à 3 essais. A chaque essai une seule boule est tirée sans remise.

Quelle est la probabilité de réussir le jeu ?

Raisonnement:

La probabilité de tirer la boule noire au 1er essai est 1/10
La probabilité de tirer la boule noire au 2ème essai est 9/10 * 1/9 = 1/10 (prob=9/10 d'échouer au 1er essai et 1/9 pour réussir au 2ème essai)
La probabilité de tirer la boule noire au 3ème essai est 9/10 * 8/9 * 1/8 = 1/10

La probabilité de réussir l'épreuve est donc de 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10

On retrouve ce résultat en appliquant la formule générale de la loi hypergéométrique = 3/10

Question: Pouvait-on fournir cette probabilité sans calcul ? Est-ce évident ?
Je pose cette question car la probabilité recherchée est le nombre d'essais divisé par le nombre de boules
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[gg0]

Bonjour.

L'épreuve donne le même résultat si on tire les 3 boules à chaque fois (on continue à tirer si on a eu la noire au premier ou deuxième tirage). Et trois tirages sans remise, c'est le tirage d'une combinaison de trois boules, puisque l'ordre n'intervient pas dans la définition de l'événement (on se moque de savoir à quelle étape est apparue la boule noire). D'où le résultat.
Mais peut-on dire "sans calcul" : ici oui, puisqu'il n'y a qu'un seul billet gagnant et donc la proba de gagner est le nombre de billets pris divisé par le nombre total de billets (équiprobabilité).

Cordialement.

[jall2]

C'est le résultat évident, sans calcul, que je ne voyais pas.
Alors j'ai pensé à la manière suivante de voir le problème qui conduit à la réponse évidente 3/10

-On considère que les 10 boules sont blanches
-On en choisit 3
-On choisit au hasard laquelle des 10 boules va être coloriée en noir

Très clairement il y a 3 chances sur 10 que la boule choisie pour être coloriée soit l'une des 3 choisies, d'où le résultat p=3/10

[gg0]

Oui, c'est une autre présentation que mon histoire de loterie.
Mais ça reste une raisonnement intuitif.

De façon analogue : dans le rayon "lait" du supermarché, il y avait 25 bouteilles, dont une était "tournée". J'arrive le soir, il ne reste qu'une bouteille. Quelle est la probabilité que le lait soit tourné ? Le même raisonnement intuitif donne 1/25 = 4%.
Des justifications mathématiques, soit par le calcul de ton premier post, soit par une étude des permutations de l'ensemble des numérotations permettent de justifier cela, mais je préfère l'idée suivante : La probabilité à priori qu'une bouteille soit mauvaise est 1/25. Comme on n'a aucun renseignement sur les 24 autres, la proba au moment où je prends la bouteille est la proba à priori.
Adapté à tes boules : la proba qu'une boule tirée soit noire est à priori 1/10. Je note A1, A2, ...A10 les événements "la boule 1, 2, ..10 est noire". Ces événements sont incompatibles, et on cherche A1 ou A2 ou A3, dont la probabilité est 1/10+1/10+1/10 = 3/10.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]