Accumulation des erreurs relatives

[Flowte]

Bonjour je souhaite déterminer la formule permettant de connaître l'erreur relative finale à partir des erreurs relatives initiales, je m'explique :
Supposons que je fasse une expérience me donnant comme résultat expérimental :
x = 5.3
y = 5.7
Sachant que, théoriquement (on admet que cela est mathématiquement vrai, irréfutable comme 2+2=4) :
x = 5
y = 5

Maintenant la fonction support est : f = x*y
Concrètement tout d'abord j'ai en pourcentage d'erreur en x : (5.3-5)/5 = 6% d'erreur (valeur théorique - valeur expérimentale)/(valeur théorique) (ici on a fait l'inverse pour éviter le résultat négatif en pourcentage)
en y : (5.7-5)/5 = 14% d'erreur
le pourcentage d'erreur final est : ((5.3*5.7)-(5*5))/(5*5) 20.84%

Donc la question est : quelle est la formule permettant de déterminer le résultat 20.84% à partir des 14% et 6%, on dirait qu'il faut additionner puis faire la somme avec leur produit divisé par 100 (14+6+(14*6/100)=20.84)
Cela étant pour les fonctions x*y , qu'en est-il pour x/y ? Pour ce qui est de x+y, il suffit de faire la moyenne des pourcentages initiaux ((14+6)/2) -> (5.3+5.7-(5+5))/(5+5) à condition que les pourcentages d'erreur en x et y soient du même "côté", 4.9 et 4.7 sont du même côté par rapport à 5, idem pour 5.2 et 5.3 par rapport à 5, pas pour 4.9 et 5.3 par rapport à 5 (ils doivent être tous deux supérieurs ou inférieurs à 5 donc.)
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[mach3]

L'approche classique se fait via les logarithmes et les différentielles. Si f=xy, alors ln f = ln x + ln y et donc, si on différencie :

Si on assimile les "d" à de petites variations, on a simplement :



est l'erreur relative de f, elle est positive par définition (on prend la valeur absolue de l'erreur).

L'erreur relative d'un produit est la somme des erreurs relatives. Attention cependant, cela ne fonctionne bien que pour des erreurs relatives pas trop grandes.

Pour un quotient f=x/y, on suit la même démarche, qui nous mène à



puis à



à noter le signe "+" pour bien cumuler les erreurs et jamais les retrancher (si les erreurs relatives de x et y sont égales, il seraient absurde que celle de f devienne nulle).

m@ch3

[Resartus]

Bonjour,
Faire la somme des incertitudes relatives est un peu pessimiste.
Si on prend pour hypothèse (habituelle, sauf si on a des raisons de penser autrement) que les erreurs sont gaussiennes et indépendantes*, on peut prendre la racine carrée de la somme des carrés des incertitudes relatives, ce qui, pour des incertitudes sur x et sur y égales, ne multiplie "que" par racine(2) au lieu de multiplier par 2 pour xy ou x/y
*Par contre, l'incertitude relative sur le carré x² est bien égale à 2 fois celle sur x

[gg0]

Bonjour.

La méthode de Resartus correspond à une situation où on a utilisé comme mesure de l'incertitude l'écart type sur les mesures (x a été mesuré n fois et est l'écart type de cette série de mesures, ou deux fois cet écart type, ou 3 fois, suivant les domaines et leurs habitudes. S'il s'agit de vraies incertitudes (majorants absolus de l'erreur), ça ne marche plus, puisqu'il ne s'agit plus de variables statistiques.
Pour la première méthode, sur de vraies incertitudes, elle ne fonctionne que si les incertitudes sont très inférieurs aux valeurs absolues des valeurs. Ce n'est pas le cas de l'exemple de Flowte où on trouve

Alors que l'erreur est


Cependant, comme les incertitudes vraies ont tendance à exagérer les incertitudes, on utilise souvent la formule même
dans ces cas.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]